Calculator de șiruri și serii — AP, PG, Fibonacci și sumare
Calculator de șiruri și serii
Se explorează progresiile aritmetice și geometrice, se generează numere Fibonacci, se calculează sumele seriilor
și se testează convergența. Toate calculele se efectuează local în browser.
Mod:
Progresie aritmetică (AP)
Se introduc a1, d, n și se apasă o operație
Formula: an = a1 + (n-1)d | Sn = n/2[2a1 + (n-1)d] = n/2[a1 + an]
Progresie geometrică (PG)
Se introduc a1, r, n și se apasă o operație
Formula: an = a1 · rn-1 | Sn = a1(1-rn)/(1-r) | S∞ = a1/(1-r) pentru |r| < 1
Fibonacci și secvențe speciale
Se alege tipul secvenței și numărul de termeni
Formula: F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0)=0, F(1)=1.
Formula lui Binet: F(n) = [φn - (-φ)-n]/√5, unde φ = (1+√5)/2.
Sumarea seriilor
Se alege un tip de sumă, se introduce n și se apasă Calculează
Teste: seria geometrică converge dacă |r| < 1. Seria p converge dacă p > 1. Seria armonică diverge.
Testul raportului: dacă lim |an+1/an| < 1, atunci seria converge.
Șiruri versus serii
O secvență este o listă ordonată de termeni; o serie este ceea ce se obține adunându-i. Cele două familii de bază: progresiile aritmetice cresc cu o constantă +d (2, 5, 8, 11…), iar progresiile geometrice se înmulțesc cu o constantă r (3, 6, 12, 24…).
O serie geometrică infinită poate fi sumată exact — a + ar + ar² + … = a/(1−r) — dar numai când |r| < 1; pentru |r| ≥ 1 termenii nu mai scad, deci nu există un total finit, iar aceasta este, de fapt, ceea ce verifică fiecare test de convergență.
