Kalkulator ciągów i szeregów — AP, GP, Fibonacci i sumowanie
Kalkulator ciągów i szeregów
Badaj ciągi arytmetyczne i geometryczne, generuj liczby Fibonacciego, licz sumy szeregów i sprawdzaj zbieżność. Wszystkie obliczenia są wykonywane lokalnie w przeglądarce.
Tryb:
Ciąg arytmetyczny (AP)
Wpisz a1, d, n i kliknij operację
Wzór: an = a1 + (n-1)d | Sn = n/2[2a1 + (n-1)d] = n/2[a1 + an]
Ciąg geometryczny (GP)
Wpisz a1, r, n i kliknij operację
Wzór: an = a1 · rn-1 | Sn = a1(1-rn)/(1-r) | S∞ = a1/(1-r) dla |r| < 1
Fibonacci i ciągi specjalne
Wybierz typ ciągu i liczbę wyrazów
Wzór: F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0)=0, F(1)=1. Wzór Bineta: F(n) = [φn - (-φ)-n]/√5, gdzie φ = (1+√5)/2.
Testy: szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |r| < 1. Szereg p jest zbieżny, gdy p > 1. Szereg harmoniczny jest rozbieżny. Kryterium ilorazowe: jeśli lim |an+1/an| < 1, to szereg jest zbieżny.
Ciągi a szeregi
Ciąg to uporządkowana lista wyrazów; szereg to suma tych wyrazów. Dwie podstawowe rodziny: ciągi arytmetyczne rosną o stałą różnicę +d (2, 5, 8, 11…), a ciągi geometryczne mnożą się przez stały iloraz r (3, 6, 12, 24…).
Nieskończony szereg geometryczny można zsumować dokładnie — a + ar + ar² + … = a/(1−r) — ale tylko wtedy, gdy |r| < 1; przy |r| ≥ 1 wyrazy nie chcą maleć i nie istnieje skończona suma, a to właśnie sprawdza każdy test zbieżności.
