Υπολογιστής Λόγου & Αναλογίας

Έξι κάρτες για όσα κάνουν οι λόγοι: επίλυση αναλογίας με οποιονδήποτε όρο ελλείπει, απλοποίηση ακατάστατων λόγων (συμπεριλαμβανομένων δεκαδικών), κλιμάκωση συνταγής σε νέο αριθμό μερίδων, λόγοι διαστάσεων για οποιαδήποτε οθόνη ή εικόνα, διαίρεση ποσού σε μερίδια όπως 2:3, και ισοδύναμοι λόγοι για πίνακες τιμών. Κάθε κάρτα ενημερώνεται καθώς πληκτρολογείται. Για ερωτήματα ποσοστών βλ. την Αριθμομηχανή ποσοστών· για γενικά μαθηματικά η Επιστημονική αριθμομηχανή.

1. Επίλυση της αναλογίας A : B = C : D — με ένα μόνο κενό κουτί

:  =  : → 
3 : 4 = 6 : ? → διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός: 3 × D = 4 × 6, άρα D = 8.

2. Απλοποίηση λόγου (ακέραιοι, δεκαδικοί, δύο ή τρεις όροι)

→ 
Οι όροι χωρίζονται με άνω και κάτω τελεία (ή με / ή με κενά). 0.5:1.5 → 1:3; 100:50:150 → 2:1:3.

3. Κλιμάκωση συνταγής — μία γραμμή για κάθε υλικό: ποσότητα όνομα

η συνταγή είναι για μερίδες → απαιτούνται
Κάθε ποσό πολλαπλασιάζεται επί 6 ÷ 4 = 1,5. Οι γραμμές χωρίς αρχικό αριθμό διατηρούνται ως έχουν.

4. Λόγος διαστάσεων — από pixel ή εύρεση του ελλείποντος πλευρού

πλάτος× ύψος→ 
Ελλείπουσα πλευρά: λόγοςγνωστό = → 
Το 1920×1080 είναι ακριβώς 16:9. Η λίστα αντιστοίχισης καλύπτει τα 21:9, 16:10, 16:9, 3:2, 4:3, 5:4, 1:1, 9:16 και τη χρυσή αναλογία.

5. Διαίρεση ποσού σε λόγο (δίκαια μερίδια)

διαίρεσηστον λόγο→ 
100 σε 2:3 → 40 και 60: κάθε μερίδιο είναι σύνολο × μερίδιο ÷ άθροισμα μεριδίων.

6. Ισοδύναμοι λόγοι — ο πίνακας πολλαπλασιασμού ενός λόγου

× πόσες γραμμές
Τα 3:4, 6:8, 9:12 … περιγράφουν όλα την ίδια σχέση — αυτό σημαίνει «ισοδύναμο».
Δοκιμή παραδείγματος:
Διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός σε μία γραμμή: Το A : B = C : D ισχύει ακριβώς όταν A × D = B × C — τα γινόμενα των διαγωνίων είναι ίσα. Η επίλυση κάθε αναλογίας είναι επομένως απλώς ο πολλαπλασιασμός των δύο γνωστών στη μία διαγώνιο και η διαίρεση με το υπόλοιπο γνωστό. Απόρρητο: όλα εκτελούνται σε αυτή την καρτέλα.

Τι είναι ένας λόγος;

Ένας λόγος συγκρίνει δύο ποσότητες με διαίρεση, όχι με αφαίρεση. Το «3 : 4» δεν σημαίνει «ένα περισσότερο» — σημαίνει ότι η πρώτη ποσότητα είναι 3/4 = 75% της δεύτερης, ανεξαρτήτως μεγέθους. Αυτή η ιδέα στηρίζει τις κλίμακες χαρτών (1 : 25000), τις συνταγές, τα γραναζωτά συστήματα, τα σχήματα οθονών, την ανάμιξη χρωμάτων και τη διαίρεση λογαριασμών: όπου η σχέση πρέπει να διατηρείται όσο αλλάζουν τα ποσά.

ΕρώτησηΠροβολή λόγουΑπάντηση
Χάρτης: 1 cm σε 25 000 cm1 : 250004 cm σε χαρτί = 1 km στο έδαφος
Συνταγή: 2 φλιτζάνια αλεύρι, 1 κ.γ. αλάτι2 : 1τριπλή συνταγή → 6 φλιτζάνια, 3 κ.γ. — ο λόγος παραμένει ο ίδιος
Οθόνη: 1920 × 1080 pixel1920 : 1080 = 16 : 9κάθε άλλη οθόνη 16:9 έχει το ίδιο σχήμα

Γιατί λειτουργεί ο διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός

Το A : B = C : D σημαίνει A/B = C/D. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές επί B και επί D, οι παρονομαστές απλοποιούνται και μένει A × D = B × C — τα δύο γινόμενα των διαγωνίων της αναλογίας. Για να βρεθεί ένας άγνωστος όρος, καλύπτεται και υπολογίζεται (γινόμενο της διαγωνίου απέναντι από αυτόν) ÷ (ο υπόλοιπος όρος). Για 3 : 4 = 6 : ?, η διαγώνιος απέναντι από το ? είναι 3 × 4 = 12, και ο υπόλοιπος όρος είναι 6, άρα ? = 12 ÷ 6 = 2… προσοχή — ο κανόνας είναι: D = (B × C) / A = (4 × 6) / 3 = 8. Τα γράμματα πρέπει να διατηρούνται σωστά· η παραπάνω κάρτα το κάνει αυτόματα.

Απλοποίηση, συμπεριλαμβανομένων δεκαδικών

Η διαίρεση όλων των όρων με τον ίδιο αριθμό δεν αλλάζει τον λόγο. 8 : 12 → και τα δύο διαιρούνται με το 4 → 2 : 3. Για δεκαδικούς, πρώτα μετατροπή σε ακέραιους: 0.5 : 1.5 → ×10 → 5 : 15 → ÷5 → 1 : 3. Ένας λόγος τριών όρων όπως ο 100 : 50 : 150 απλοποιείται με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και των τριών (εδώ 50) σε 2 : 1 : 3.

Ο ζωολογικός κήπος των λόγων διαστάσεων

ΛόγοςΤυπική χρήσηπαράδειγμα πλάτους 1920
21 : 9οθόνες υπολογιστή ultrawide1920 × ~823
16 : 9τηλεόραση HD, περισσότερες οθόνες υπολογιστή1920 × 1080
16 : 10παλαιότεροι φορητοί υπολογιστές1920 × 1200
3 : 2φωτογραφίες 35 mm, πολλά τηλέφωνα1920 × 1280
4 : 3κλασική τηλεόραση, iPad1920 × 1440
1 : 1τετράγωνο1920 × 1920
φ ≈ 1,618 : 1χρυσό ορθογώνιο1920 × ~1186

Η διάσημη χρυσή αναλογία 1,618… είναι ο μοναδικός γνωστός λόγος που δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος ακεραίων — είναι άρρητος — άρα το 1000 × 618 μόνο την προσεγγίζει.

Συχνές ερωτήσεις

Λόγος ή κλάσμα; — ένα κλάσμα είναι ένας αριθμός (3/4)· ένας λόγος μπορεί να συγκρίνει τρία ή περισσότερα πράγματα ταυτόχρονα (2:3:5), κάτι που κανένα μεμονωμένο κλάσμα δεν μπορεί.
Μπορούν οι όροι λόγου να είναι μηδέν; — ένας μηδενικός όρος επιτρέπεται σε σύγκριση (0 : 5) αλλά καθιστά αδύνατη την επίλυση αναλογιών όταν βρίσκεται εκεί όπου πρέπει να γίνει διαίρεση· οι κάρτες το επισημαίνουν.
Γιατί ο λόγος διαστάσεων δεν είναι ακριβώς 16:9; — ορισμένες οθόνες είναι 1366 × 768 (683 : 384 ≈ 16 : 8,99), λόγω στρογγυλοποίησης στο υλικό· η κάρτα δείχνει την ακριβή απλοποιημένη μορφή και τον πλησιέστερο κοινό λόγο.
Διαίρεση με υπόλοιπα; — χρήματα 100 σε 3 : 3 : 4 δίνουν 30, 30, 40 — ακριβώς· αλλά 100 σε 1 : 1 : 1 δίνουν 33,33… το καθένα· η κάρτα δείχνει τις στρογγυλοποιημένες τιμές και τα ακριβή κλάσματα, ώστε τίποτα να μην κρύβεται.
Φεύγει κάτι από τη συσκευή; — όχι: χωρίς διακομιστή, χωρίς αποθήκευση, χωρίς αναλύσεις.

Αυτοέλεγχος