Vektorkalkulator

2D- og 3D-vektoroperasjoner med sanntidsvisualisering av piler på lerret. Beregn skalarprodukt, kryssprodukt, vinkel, størrelse, enhetsvektor, og vektoraddisjon/dekomposisjon. Også: Mekanikk | Kretser | Termodynamikk.
Velg operasjon:
x y
x y
Vektoroperasjoner: Skalarprodukt: A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz for 3D). Kryssprodukt (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Vinkel: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). Projeksjon: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Enhetsvektor: u = A/|A|. Størrelse: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Hva er vektorer?

En vektor er en størrelse med både størrelse og retning: kraft, hastighet, akselerasjon, bevegelsesmengde, elektriske og magnetiske felt, vinkelmomentum. En skalar er derimot bare et tall: masse, tid, energi, temperatur. Geometrisk tegnes en vektor som en pil der lengden er størrelsen og vinkelen gir retningen; algebraisk er den en ordnet liste av komponenter, to i planet og tre i rommet. Seks operasjoner dekker nesten alt man gjør med vektorer: størrelse |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), addisjon komponent for komponent, skalarprodukt A·B = ΣAiBi, kryssprodukt A×B (bare 3D), vinkel fra cosθ = A·B/(|A||B|), og enhetsvektor / projeksjon. Panelet implementerer alle seks i 2D og 3D med en umiddelbar lerretsplott for visualisering — å se to piler og deres sum eller produkt er forskjellen mellom abstrakt manipulasjon og fysisk intuisjon.

Tre produkter gjør alt som trengs: skalarproduktet (en skalar som måler innretning, A·B = |A||B|cosθ), kryssproduktet (en vektor vinkelrett på begge inndataene, størrelse |A||B|sinθ), og projeksjonsoperatoren (komponenten av A langs en valgt retning). De er regnskapet i hver fysikkformel som involverer mer enn én vektor.
Størrelse og det todimensjonale kanoniske eksemplet

Den rettvinklede trekanten 3-4-5 er det kanoniske eksemplet for 2D-vektorer. Ta A = (3, 4). Størrelsen er |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Retningen fra +x-aksen er arctan(4/3) ≈ 53,13°. Enhver 2D-vektor kan skrives som en størrelse ganger en enhetsvektor som peker i den retningen: A = 5·(0,6, 0,8). Dekomposisjonspanelet tar en størrelse og vinklene θ og φ og returnerer x-, y- og z-komponentene under enten den sfæriske konvensjonen (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) eller den plane (med φ ignorert, x = r cosθ, y = r sinθ). For r = 10, θ = 36,87° i 2D-modus gir dette (8, 6, 0) — den rettvinklede trekanten 6-8-10, skalert fra den opprinnelige 3-4-5. Å gjenkjenne disse heltallstrekantene er snarveien til å se hvilke komponenter som står vinkelrett, uten å ta i bruk trigonometri.

Skalarprodukt — skalarmål for innretning

For to vektorer A og B er skalarproduktet A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) en skalar lik |A||B|cosθ — altså produktet av størrelsene ganger cosinus til vinkelen mellom dem. Standardeksempelet i 2D (A = (3, 4), B = (5, 2)) gir A·B = 15 + 8 = 23, størrelsene |A| = 5 og |B| = √29 ≈ 5,385, og cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, så θ ≈ 31,33°. Tre fortegnskonsekvenser bærer hele tolkningen: cosθ > 0 betyr at vinkelen er spiss og vektorene peker i stort sett samme retning; cosθ < 0 betyr stump og at vektorene motvirker hverandre; cosθ = 0 betyr vinkelrett. Skalarproduktet er arbeidet en kraft F utfører langs en forskyvning d (W = F·d), og cosinus er grunnen til at å dytte i en vinkel er mindre effektivt enn å dytte langs bevegelsesretningen.

Kryssprodukt — vektor vinkelrett på begge inndataene

Kryssproduktet er en operasjon som bare finnes i 3D, der resultatet er en vektor vinkelrett på begge inndataene, med størrelse |A||B|sinθ og retning gitt av høyrehåndsregelen (pek med pekefingeren langs A, langfingeren langs B, da gir tommelen A×B). Komponentvis er A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Standardeksempelet i 3D (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) gir A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Kryssproduktet er antisymmetrisk: B×A = −A×B, så å bytte inndataene snur fortegnet. Tre fysikkforekomster: dreiemoment τ = r×F (rotasjonskraft), vinkelmomentum L = r×p (banens vinkelmomentum), og magnetisk kraft F = qv×B på en bevegelig ladning. Størrelsen |A×B| er lik arealet av parallellogrammet de to vektorene utspenner, og derfor beskriver kryssproduktresultater alltid areal eller rotasjon. Dreiemoment er kryssproduktet i arbeid: τ = r×F har størrelse |r||F|sinθ, så å dytte gjennom tappen gir null, og en lengre skiftenøkkel gir mer.

Vinkel mellom vektorer

Når skalarproduktet og størrelsene er kjent, er vinkelen én arcus-cosinus: cosθ = A·B/(|A||B|), med θ i [0, π]. Et lite skalarprodukt i forhold til størrelsene betyr nesten vinkelrette vektorer; et skalarprodukt lik |A||B| betyr at vektorene peker samme vei (θ = 0); et skalarprodukt lik −|A||B| betyr motsatt (θ = π). Formelen er den samme i 2D og 3D — bare dimensjonen på komponentsummene er ulik. Geometrisk kan skalarproduktet sees på som projeksjonen av A på B (eller B på A), ganget med størrelsen til den andre, så cosinus er bokstavelig talt projeksjonsforholdet.

Enhetsvektor og projeksjon

En enhetsvektor er en vektor med størrelse 1 som peker i samme retning som den opprinnelige: u = A / |A|. Enhetsvektorer er måten å beskrive "ren retning" på; basisvektorene i, j, k i kartesiske koordinater er de kanoniske eksemplene, og enhver retning i 3D kan skrives som en lineærkombinasjon av dem. Projeksjonen av A på B (eller komponenten av A langs B) er projBA = (A·B / |B|²) · B — den delen av A som ligger langs B. Den skalare versjonen (A·B/|B|) er den fortegnsbestemte lengden av den projeksjonen. Dette er det som gjør skalarproduktet til arbeidsformelen: forskyvningskomponenten langs kraften, ganget med kraftens størrelse, er arbeidet som utføres.

Misforståelser
  • Skalarproduktet er multiplikasjon av vektorer. Det er skalarproduktet — gir et tall, ikke en vektor. Tilsvarende er kryssproduktet vektorproduktet. Å kalle dem "multiplikasjon" skjuler at de har helt forskjellige resultater.
  • Kryssproduktet er en skalar. I 2D kalles den vinkelrette komponenten noen ganger en skalar (determinanten axby − aybx), men i 3D er kryssproduktet virkelig en vektor. Både størrelsen og retningen er fysisk meningsfulle.
  • Kryssproduktet er kommutativt. Det er antikommutativt: A×B = −B×A. Rekkefølgen betyr noe — dreiemomentet r×F har motsatt fortegn av F×r.
  • En vektor har en fast plassering. Vektorer er frie — de kan flyttes rundt på siden uten å endre seg. Det som er fast, er størrelsen og retningen; bare bestemte vektorer i fysikken (posisjonsvektorer, det elektriske feltet i et punkt) er knyttet til et sted.

Relaterte verktøy: Mekanikk for dreiemoment, arbeid og vinkelmomentum i sammenheng, Rotasjonsdynamikk for hvordan kryssproduktet bygger vinkelmomentum, og Kretser for den magnetiske kraften F = qv×B.