Fire bevarte størrelser gjør det tunge arbeidet: bevegelsesmengde (p = mv) når ingen ytre kraft virker; mekanisk energi (KE + PE) når bare konservative krefter virker; vinkelmomentum når ikke noe ytre dreiemoment virker; masse i vanlige (ikke-kjernefysiske) vekselvirkninger. Sammen løser de nesten alle lærebokoppgaver.
Kastebevegelse — den parabolske flygningen
Skyt av et hvilket som helst objekt med starthastighet v0 i vinkelen θ over horisontalen, og banen blir en parabel når luftmotstanden er neglisjerbar. Bevegelsene i horisontal og vertikal retning er uavhengige: x(t) = v0 cosθ · t (konstant horisontal fart) og y(t) = v0 sinθ · t − ½g t² (jevnt akselerert vertikalt fall). Tre oppsummerende resultater følger av kinematikken: rekkevidde R = v0² sin(2θ) / g, maks høyde H = v0² sin²(θ) / (2g), flytid T = 2v0 sinθ / g (for oppskyting fra bakkenivå). Standardeksempelet (v0 = 20 m/s, θ = 45°, jordens g = 9,81 m/s²) gir vx = vy = 14,142 m/s, R = 40,775 m, H = 10,194 m og T = 2,883 s. Vinkelen 45° gir maksimal rekkevidde på flatt underlag for en gitt fart, og på månen når den samme oppskytingen R = 246,91 m, fordi tyngdekraften er seks ganger svakere.
Fritt fall — tre ekvivalente kinematiske former
Et objekt sluppet fra hvile faller under konstant tyngdekraft med tre innbyrdes utskiftbare sammenhenger: v = gt (øyeblikkelig fart på tidspunkt t), h = ½g t² (fallhøyde fra hvile etter tid t) og v = √(2gh) (fart etter å ha falt høyden h). Hver er et spesialtilfelle av kinematiske likninger og kan gjøres om til de andre ved innsetting. Standardeksempelet (h = 100 m, jorden) gir t = 4,515 s, v = 44,294 m/s og v = 159,46 km/t — omtrent sluttfarten for en fallskjermhopper i stabil flatliggende stilling. Bytter man til modusen fra tid, gir et fall på 3 sekunder d = 44,145 m og v = 29,43 m/s (omtrent 105,95 km/t). Det samme fallet på månen tar t = 11,11 s og når bare 17,97 m/s — det samme fallet, seks ganger langsommere.
Skråplan — tyngdekraften delt i komponenter
En blokk med masse m på et skråplan med vinkelen θ føler tyngdekraften W = mg rett ned, men bare komponenten langs overflaten akselererer blokken; komponenten inn i overflaten utlignes av normalkraften. Delingen er geometri: Fparallell = mg sinθ, normalkraft N = mg cosθ. Friksjon legger til en motvirkende kraft f = μN = μmg cosθ som motsetter bevegelsen; friksjonskoeffisienten μ ligger fra omtrent 0,04 (stål på is) til 0,8 (gummi på gummi). Nettokraften nedover skråplanet er Fnetto = mg sinθ − μmg cosθ, som gir akselerasjonen a = g(sinθ − μ cosθ). Standardeksempelet (m = 10 kg, θ = 30°, μ = 0,2, g = 9,81 m/s²) gir W = 98,1 N, N = 84,957 N, Fparallell = 49,05 N, f = 16,991 N, Fnetto = 32,059 N og a = 3,206 m/s². Blokken glir nedover fordi den parallelle komponenten er større enn friksjonen. Skrur man μ opp til 0,6, blir nettokraften negativ — blokken blir liggende (eller glir oppover hvis den ble skjøvet); friksjonen har vunnet. Vinkelen der en blokk med friksjon først begynner å gli, er arctan(μ), friksjonsvinkelen; under den holder statisk friksjon blokken på plass.
Newtons 2. lov — F = m · a, tre løsemoduser
Newtons 2. lov i skalarform er F = m · a: nettokraften på et objekt er lik massen ganger akselerasjonen. Standardverdien (masse 10 kg, akselerasjon 5 m/s²) gir F = 50 N. Bytt nedtrekksmenyen, så løser det samme panelet for masse (m = F / a), akselerasjon (a = F / m) eller vekt (W = m · g, med jordens tyngdeakselerasjon 9,81 m/s²). En person på 70 kg har W = 686,7 N på jorden og W = 113,4 N på månen — den samme personen, den samme massen, men en sekssifret vektforskjell fordi tyngdekraften er seks ganger svakere. Vekt er en kraft (newton); masse er en mengde materie (kilogram).
Bevegelsesmengde og impuls — de to bevaringslovene
Et objekt i bevegelse bærer bevegelsesmengde p = mv, en vektor som peker langs hastigheten. For å endre et objekts bevegelsesmengde kreves impuls J = FΔt = Δp, lik kraften som påføres over tidsrommet den virker. Standardeksempelet (m = 2 kg, v = 15 m/s, F = 50 N, t = 0,5 s) gir p = 30 kg·m/s, KE = 225 J, J = 25 N·s, Δv = 12,5 m/s og en sluttfart på vsluttfart = 27,5 m/s dersom impulsen ble påført i bevegelsesretningen. Den samme impulsen levert av en mindre kraft over lengre tid (en "myk" fangst) eller av en større kraft over kortere tid (en "hard" kollisjon) gir den samme endringen i bevegelsesmengde. I et lukket system uten ytre krefter er total bevegelsesmengde bevart: et objekt på 2 kg med 15 m/s som treffer et stillestående objekt på 1 kg, ender med v1' = 5 m/s og v2' = 20 m/s (perfekt elastisk), eller de deler en felles hastighet v = 10 m/s (perfekt uelastisk). Dette regnskapet ligger til grunn for all kollisjonsanalyse, fra biljard til protonstråler.
Arbeid, energi og effekt — det bevarte regnskapet
Når en kraft flytter et objekt en strekning, utfører den arbeid W = F · d (skalarproduktet gjør det eksakt for skrå krefter: bare komponenten av F langs d teller). Energien et objekt har i kraft av bevegelsen sin, er kinetisk energi KE = ½mv²; energien det har i kraft av sin posisjon i et gravitasjonsfelt, er potensiell energi PE = mgh. Total mekanisk energi E = ½mv² + mgh bevares når bare tyngdekraften virker (ingen friksjon, ingen påførte krefter) — derfor svinger et pendel til samme høyde hver syklus, og derfor vender en ball som kastes oppover tilbake med samme fart som ved avkast på vei ned. Effekt P = W / t måler raten arbeidet utføres med. Standardeksempelet (m = 5 kg, v = 10 m/s, h = 20 m, g = 9,81, F = 50 N, d = 4 m, t = 2 s) gir KE = 250 J, PE = 981 J, total mekanisk energi = 1231 J, W = 200 J, P = 100 W og P = 0,1341 hk.
Vanlige misforståelser
- Tyngre gjenstander faller raskere enn lettere. I vakuum er det motsatte sant: alle objekter akselererer med samme g uansett masse. Luftmotstand bryter likheten, fordi den skalerer med tverrsnittet, ikke vekten — en fjær og en hammer som slippes sammen på jorden treffer bakken til forskjellig tid, men på månen (ingen luft) treffer de samtidig, slik det ble demonstrert live under Apollo 15.
- Kraft og hastighet er ikke det samme. Kraft forårsaker akselerasjon (F = ma); hastighet er det man får av en vedvarende kraft. En stoppet bil har kraft på hjulene, men null hastighet; en ishockeypuck glir over isen uten friksjon med konstant hastighet og null nettokraft.
- Bevegelsesmengde og kinetisk energi er ikke det samme. Begge er null i hvile, men de skalerer ulikt. Å doble hastigheten dobler bevegelsesmengden (p = mv), men firedobler den kinetiske energien (KE = ½mv²). En lastebil på 2 tonn i 60 mph har samme bevegelsesmengde som en bil på 1 tonn i 120 mph, men dobbelt så stor kinetisk energi.
- "g" er en kraft. g er tyngdeakselerasjonen (m/s²). Kraften på et objekt fra tyngdekraften er W = mg. En masse på 1 kg veier 9,81 N på jorden; på månen veier den 1,62 N, fordi g er seks ganger mindre.
Relaterte verktøy: Vektorkalkulator for å dekomponere krefter og hastigheter i komponenter, Elektrisitet & kretser for den elektromagnetiske kraftkonteksten, Bølger & svingninger for de svingende slektningene til kastebevegelse, Rotasjon & dreiemoment for vinkelmomentum-motstykket til rettlinjet bevegelse, og Termodynamikk & varme for energisiden av mekanikken.
