Astrofysikkalkulator

Astrofysikk er den delen av fysikken som bruker tyngdekraft og bevegelse som operativt språk for alt fra en måne til en galakse. Seks kalkulatorer i denne panelen svarer på de seks gjentakende spørsmålene man kan stille om et hvilket som helst legeme eller en hvilken som helst bane: hvor fort må noe kastes for å forlate systemet? Hvor fort for å gå i bane rundt det? Hvor lang tid tar en bane? Hvor liten måtte samme masse kollapse for å bli et sort hull? Hvor mye delta-v får en rakett per brøkdel drivstoff? Og hvor langt unna er en galakse hvis lys er rødforskjøvet? Alt annet — avstander målt med parallakse mot jordbanens grunnlinje på én astronomisk enhet (AU = 1,496×10¹¹ m), størrelsesklasser som den logaritmiske rangeringen av lysstyrke, rødforskyvning z ≈ v/c som lavhastighetsversjonen av Hubbles lov — hviler på det samme newtonske og relativistiske fundamentet.

Ethvert legeme med masse M og radius R danner en potensialbrønn med dybde GM/R per masseenhet. For å klatre ut fra overflaten kreves kinetisk energi minst lik den dybden, og det gir unnslippingshastigheten. Sett inn jorden: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — panelet gir v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, omtrent Mach 33). Mars ligger på ≈ 5,03 km/s, månen på 2,38 km/s, Jupiter på 60 km/s (der hydrogen er et dårlig rakettdrivstoff, men regningen er den samme), og solen på 618 km/s. Merk: formelen forutsetter ingen luftmotstand og ingen videre framdrift; det reelle tallet for en hvilken som helst rakett inkluderer aerodynamiske tap, tyngdekrafttap under klatringen og styretap. Det er også hastigheten fra hvile ved overflaten; et objekt som allerede er i bane trenger en mindre Δv for å unnslippe fra sin høyde, aldri den fulle overflateverdien. Den samme skaleringen gir overflatevekten: på Mars (g = 3,71 m/s²) veier en astronaut på 70 kg 260 N — massen er uendret, vekten følger lokal tyngdekraft.

En stabil sirkulær bane balanserer sentripetalakselerasjon mot tyngdekraften: v_o = √(GM/r). Panelets standardforhåndsinnstilling for jorden ved r = 7×10⁶ m (omtrent 629 km høyde — ISS-området) gir v_o ≈ 7 546 m/s og en periode på 5 829 s (~1,62 timer). Den virkelige ISS ligger på ~408 km og går i bane på ~92,7 minutter; høyden i panelet er et illustrerende tall, ikke en flyplan. Forholdet gir også unnslipping — multipliser v_o med √2 for å få v_e i samme høyde. Banehastigheten er uavhengig av massen i banen; en fjær og et slagskip i samme bane beveger seg med samme hastighet (i vakuum), og det er derfor banemekanikk behandler satellitter som punktpartikler.

T² = (4π²/GM) · a³ kobler banens periode til storhalvaksen. Panelets standardoppsett for sol-jord (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU per definisjon) gir T ≈ 365,21 dager, nettopp lengden på vårt år. Løser man den andre veien — gitt en periode i sekunder, beregn a — er det slik astronomer måler storhalvaksen til enhver satellitt hvis periode de kan ta tiden på. Den samme grunnlinjen på 1 AU er også definisjonen av parsek: en stjerne som viser en parallaksevinkel på 1 buesekund mot bakgrunnen når jorden beveger seg 2 AU, er nøyaktig 1 parsek = 3,26 lysår unna — og 1 parsek = 206 265 AU. Kilometer og lysår blir uhåndterlige på interstellare skalaer; parsek og AU er de praktiske enhetene.

Hvis man komprimerer en masse M under sin Schwarzschild-radius R_s = 2GM/c², kan ingen signal fra innsiden komme ut: det er horisonten til et ikke-roterende sort hull. Tallene er overraskende små for vanlige masser: jordens R_s er omtrent 8,87 mm — mindre enn en marmorkule; solens er omtrent 2,95 km. For å kollapse noen av dem ville det kreves tettheter ingen kjent materietilstand gir. Ekte sorte hull dannes ved stjerners død, der 14,76 km for en rest på 5 M_⊙ (panelets forhåndsinnstilling "lite sort hull") er riktig størrelsesorden for objekter av typen Cygnus X-1, mens et supermassivt sort hull på 4×10⁶ M_⊙ som Sagittarius A* i vårt galaktiske sentrum har R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (omtrent 17 % av Merkurs bane). Schwarzschild-radiusen er en koordinatforutsigelse fra generell relativitetsteori; den faktiske horisonten til et roterende (Kerr-) sort hull er annerledes og kan være mindre.

Bevaring av bevegelsesmengde for en rakett som sender ut eksos bakover med hastighet v_e, med massekvotienten m₀/m_f, gir Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Panelets innlastbare eksempel (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) gir Δv ≈ 6 907,76 m/s for en massekvotient på 10 og en drivstoffandel på 90 %. Likningen er brutalt logaritmisk: å doble drivstoffet gir v_e·ln(2) mer Δv, aldri en dobling. Lav jordbane krever omtrent 9,4 km/s Δv i alt; overføringsbane til geostasjonær bane omtrent 11,5 km/s; overføring til månen omtrent 12,5 km/s — derfor deles raketter i trinn, hvorfor øvre trinn er små brøkdeler av startmassen, og hvorfor enkeltrinnsraketter til bane fortsatt er vanskelige.

Edwin Hubbles observasjon fra 1929 om at galakser fjerner seg med en hastighet proporsjonal med avstanden, gir d = v/H₀. Med panelets H₀ = 70 km/s/Mpc ligger en galakse med v = 1 000 km/s på d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ lysår. For nærliggende galakser er fjernhastigheten en liten brøkdel av c, så z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; den lineære Hubbles lov er da et spesialtilfelle av kosmologisk fjerning i et ekspanderende univers. Sammenhengen bryter sammen ved høy rødforskyvning (z > 0,1), der den fullstendige kosmologiske modellen tar over, og det er derfor infoboksen advarer om at formelen gjelder for "relativt nærliggende" galakser — samme forbehold gjelder når v_e eller v_o brukes nær lysets hastighet (relativistiske korreksjoner har betydning). Hubbles avstandsstige — parallakse til Cepheidevariabler til type Ia-supernovaer til Hubble-strømmen — er det som kalibrerer H₀ selv, og spenningen i dagens H₀ mellom lokale og CMB-avledede verdier er fortsatt et av kosmologiens åpne problemer.

• Unnslippingshastighet er en oppskytingshastighet fra bakken. Det er hastigheten fra hvile i den gitte radiusen uten videre framdrift; en rakett som klatrer med konstant lav skyvkraft i timevis, trenger ikke å nå v_e på noe bestemt tidspunkt.
• Sorte hull suger til seg ting som støvsugere. Horisontradiusen bestemmes av den sentrale massen, ikke av objektet som "trekkes". Ved r » R_s er tyngdekraften bare Newton; først svært nær horisonten blir den umulig å unnslippe fra. Solen, hvis den var et sort hull med samme masse, ville ikke endre jordbanen i det hele tatt.
• Mer drivstoff gir proporsjonalt mer Δv. Tsiolkovskij er logaritmisk: å doble drivstoffet gir v_e·ln(2) mer, ikke en dobling av delta-v. Dette er det aller viktigste tallet i rakettingeniørkunst.
• Parallakse måler stjerners størrelse. Parallakse måler avstand, ved den samme geometriske triangulering som landmålere bruker — jo større grunnlinje, jo lenger rekkevidde. Grunnlinjen på 2 AU fra jordbanen gjør parsek til en naturlig enhet.

Relaterte verktøy: Mekanikk for den underliggende kinematikken, Moderne fysikk for relativistiske effekter ved høy hastighet, og Kalkulator for algebraen som driver formlene over.