Hver måling er et tall med en ærlig følgesvenn: hvor sikre kan vi være? Denne følgesvennen har to deler — en tilfeldig feil, som gjentakelse av målingen midler ned, og en systematisk feil, en skjevhet som består uansett hvor mange ganger man måler. Den ærlige rapporten for en hvilken som helst størrelse er derfor x ± u(x), der u er en veldefinert usikkerhet; ±-symbolet er stenografi for "omtrent dette området med denne sannsynligheten". De fire kalkulatorene på dette panelet dekker arbeidsverktøyene: telling av signifikante siffer (regnskapssnarveien), forplantning av usikkerheter gjennom summer, differanser, produkter, kvotienter og potenser (kalkulusen for feil), standardavvik (hvor spredt dataene er), og GUM-stil kombinert usikkerhet for flere uavhengige komponenter.
To slags feil, to motsatte oppførsler: tilfeldig feil krymper med kvadratroten av N (σ/√N), så gjennomsnittsberegning vinner alltid; systematisk feil krymper ikke i det hele tatt, og derfor betyr kalibrering mer enn gjentakelse. En måling kan ha en liten σ og likevel være feil på grunn av systematisk skjevhet.
Signifikante siffer — regnskapssnarveien
Et signifikant siffer er et siffer man kjenner med sikkerhet; nuller som fyller ut et tall til en størrelseskonvensjon, er det ikke. Fem regler: (1) alle sifre som ikke er null, er signifikante, (2) nuller mellom ikke-nuller er signifikante, (3) ledende nuller er ikke signifikante (de plasserer bare desimaltegnet), (4) etterfølgende nuller etter desimaltegnet er signifikante, (5) etterfølgende nuller uten desimaltegn er tvetydige (bruk vitenskapelig notasjon). Standardverdien 0,0070800 har derfor 5 signifikante siffer (7, 0, 8, 0, 0) og leses som (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Å oppgi 0,0070800 innebærer den samme presisjonen som å oppgi 7,0800×10−3; å oppgi 0,00708 innebærer en tusen ganger lavere presisjon. Snarveien fungerer for lærebokrapporter; for en ekte måling er usikkerheten u det ærlige tallet, og signifikante siffer er en praktisk måte å uttrykke den på uten å skrive ± hver gang.
Feilforplantning — kalkulusen for feil
For z = f(x, y) er regelen for å kombinere uavhengige usikkerheter σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². For de fire vanlige operasjonene gir dette: addisjon/subtraksjon legger absolutte feil sammen i kvadratur σz = √(σx² + σy²); multiplikasjon/divisjon legger relative feil sammen i kvadratur σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); potens xn skalerer den relative feilen med |n|: σz/z = |n|σx/x. Standardeksempelet (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, addisjon) gir z = 15 og σz ≈ 0,36, eller 15,00 ± 0,36 (omtrent 2,4 % relativt). Bytter man til multiplikasjon med de samme inndataene, gir det z = 50 ± 2,5 (5 % relativt) — de samme ±-verdiene, men en helt annen forplantningsregel, og den relative usikkerheten til produktet er lik kvadratursummen av de relative usikkerhetene. Absolutte usikkerheter er riktig valuta for summer og differanser; relative usikkerheter er riktig valuta for produkter og kvotienter.
Standardavvik — spredningen i dataene
Standardavviket σ er rot-middel-kvadrat-avviket fra gjennomsnittet. Det finnes to versjoner avhengig av hva dataene representerer: populasjonens σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) beskriver spredningen i alle medlemmer av et kjent sett; utvalgets s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) estimerer spredningen i den større populasjonen utvalget ble trukket fra. Standardeksempelet (10 verdier fra 12,2 til 12,8 med gjennomsnitt 12,5) gir populasjonens σ ≈ 0,1732, utvalgets s ≈ 0,1826 og SEM = s/√N ≈ 0,0577. Usikkerheten til selve gjennomsnittet er σ/√N (eller s/√N for utvalgsversjonen), og derfor reduserer gjennomsnitt av 25 målinger av én størrelse usikkerheten med en faktor 5 sammenlignet med én måling. Standardavviket brukes også til konfidensintervaller: for en normalfordeling inneholder ±1σ 68,3 %, ±2σ 95,5 % og ±3σ 99,7 %.
Utvidet usikkerhet — kombinering av alle kilder
Når en måling har flere uavhengige feilkilder (instrumentoppløsning, kalibrering, repeterbarhet, temperaturdrift, operatørvirkning), er GUM-stil kombinert usikkerhet uc = √(Σui²). Kildene klassifiseres som type A (statistiske, fra data) og type B (alt annet, med usikkerheter estimert ved skjønn eller produsentens spesifikasjon); begge inngår i uc på samme måte. En dekningsfaktor k skalerer så intervallet til et valgt konfidensnivå: k = 1 for 68,3 %, k = 2 for 95,5 %, k = 2,58 for 99,0 %, k = 3 for 99,7 %. Standardeksempelet (kilder på 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) gir uc ≈ 0,1797 mm og U = k·uc ≈ 0,3595 mm ved 95,5 %. Den rapporterte verdien blir (måling ± 0,36) mm med det konfidensnivået. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) er den internasjonale standarden for fremgangsmåten. Type A-komponenter kommer fra statistikk over gjentatte avlesninger, type B fra instrumentspesifikasjoner og skjønn — begge kombineres gjennom samme kvadratursum.
Vanlige misforståelser
- Flere signifikante siffer betyr en mer nøyaktig måling. Bare hvis disse sifrene faktisk kom fra målingen. En lengde skrevet for hånd som "12,34567 m" er ikke nøyaktig til 1 del i 10 millioner — signifikante siffer er en måte å kommunisere presisjon på, ikke en måte å skape den på. Å oppgi ± er mer ærlig enn å fylle på med oppdiktede siffer.
- Systematisk feil kan reduseres ved gjennomsnittsberegning. Det motsatte: tilfeldige feil midles ned som 1/√N, men en systematisk skjevhet (en feilkalibrert skala, et forskjøvet nullpunkt) blir stående uansett hvor mange målinger man tar. Finn og midle ut skjevheten. Dette er fellen med "dataene ser så reproduserbare ut!" i et ødelagt eksperiment.
- Standardavviket forteller noe om feilen i én enkelt måling. Det karakteriserer spredningen i fordelingen, ikke feilen i ett enkelt forsøk. Standardfeilen i gjennomsnittet (s/√N) er den relevante størrelsen når man rapporterer hvor godt man kjenner x̄ fra en utvalg på N.
- Usikkerhet er alltid ± i siste siffer. Standardkonvensjonen er "rund usikkerheten av til ett (noen ganger to) signifikante siffer, og rund deretter verdien til samme presisjon". En måling på 12,345678 ± 0,234 skal rapporteres som 12,35 ± 0,23, ikke 12,345678 ± 0,234.
Relaterte verktøy: Statistikk for de underliggende sannsynlighetsfordelingene, Mekanikk for de eksperimentelle oppsettene som gir tallene, og Kalkulator for algebraen i forplantning.
