Fysiske simuleringer

Interaktive fysikksimuleringer med sanntidsanimasjon på lerret. Inkluderer kastebevegelse, enkelt og dobbelt pendel, bølgeinterferens, feltlinjer for elektrisk felt og sammensetning av kraftvektorer. Også: Mekanikk | Vektorkalkulator | Bølger.
Kastebevegelse: Bane med sanntidsflukt. x(t)=v0·cosθ·t, y(t)=h0+v0·sinθ·t-½gt². Rekkevidde R=v0²sin(2θ)/g (h0=0). Maks høyde H=h0+v0²sin²θ/(2g).
Hva er disse fysikksimuleringene?

Fem sanntids lerretanimasjoner viser hvordan fysikkens likninger ser ut i bevegelse: banen til en ball under tyngdekraft, svingningen til et enkelt pendel og den kaotiske dansen til et dobbeltpendel, interferensmønsteret til to sirkulære bølger, feltlinjene rundt punktladninger, og polygonsammensetningen av tre krefter. Matematikken er den samme som formlene andre steder på siden; lerretet viser hvordan løsningen ser ut i tid og rom. Hvert panel tar noen få inndata og gir enten en numerisk avlesning (kast, kraftsammensetning, e-felt) eller en visuell (pendel, bølgeinterferens). Sammen utgjør de et lite laboratorium i nettleseren der man kan variere en parameter og se resultatet endre seg med en gang.

Simuleringer er likninger gjort synlige: den samme algebraen, de samme konstantene, de samme randbetingelsene — gjengitt som en animasjon som lar parametere varieres og resultatet ses endre seg. Bruk dem til å bygge intuisjon: endre utskytingsvinkelen og se rekkevidden nå toppen ved 45°, endre fortegnet på ladningen og se feltlinjene snu, endre bølgelengden og se interferensmønsteret krympe eller spre seg.
Kastebevegelse — den klassiske parabelen

En ball skutt ut med starthastighet v0 i vinkelen θ fra høyden h0 følger de parametriske likningene x(t) = v0 cosθ · t og y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t². Lerretet tegner banen mens ballen flyr, og rapporterer endelig rekkevidde, flytid og maks høyde. Standardeksempelet (v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, jordens g = 9,81 m/s²) gir flytid ≈ 3,604 s, rekkevidde ≈ 63,70 m og maks høyde ≈ 15,929 m. Bytt til månens forhåndsinnstilling (g = 1,62), og det samme kastet når ≈ 385,8 m på ≈ 21,82 s — den samme parabelen, seks ganger lengre og lenger, akkurat det som gjør månens idrett så absurd, og det astronauten Alan Shepard utnyttet med sin improviserte seks-jern. Lerretet tegner banen på nytt med en rød prikk som følger ballens posisjon, og merker rekkevidden og maks høyde direkte i diagrammet.

Pendel — enkel harmonisk og kaotisk

Et enkelt pendel med lengde L sluppet fra vinkelen θ følger θ″(t) = −(g/L) sinθ, her integrert med semi-implisitt Euler. For små amplituder (sinθ ≈ θ) er bevegelsen enkel harmonisk med periode T = 2π√(L/g); standardverdien L = 1,5 m på jorden gir T ≈ 2,458 s. For større amplituder vokser perioden litt fordi sinθ ikke lenger er en god lineær tilnærming — en sving på 60° er omtrent 7 % langsommere enn en sving på 5° av samme lengde. Det doble pendelet er et annet dyr: to stive ledd med masser i leddene, styrt av koblede ulineære likninger, integrert på samme måte, men med kaos. Små forskjeller i startvinkelen fører til svært ulike baner i løpet av få sykluser — kjennetegnet på deterministisk kaos, og derfor er doble pendler det klassiske eksempelet på et kaotisk mekanisk system. Bytt fra "Enkel" til "Dobbel" i nedtrekksmenyen, så dukker den andre stangen opp med startvinkel θ2; trykk Start og se svingmønsteret divergere uforutsigbart. Simuleringen av enkelt pendel demper også hver ramme (faktor 0,9995), slik et ekte pendel mister energi til luftmotstand og tapp-friksjon.

Bølgeinterferens — superposisjon fra to kilder

To punktkilder sender ut sirkulære bølger med samme bølgelengde λ; i hvert punkt i planet er den resulterende forstyrrelsen summen av de to. Der bølgetoppene fra de to kommer i fase, dobles amplituden (konstruktiv interferens); der en topp fra den ene møter en bunn fra den andre, utligner de hverandre (destruktiv interferens). Betingelsen for konstruktiv interferens er r1 − r2 = mλ for heltall m; for destruktiv er den r1 − r2 = (m + ½)λ. Lerretet maler et intensitetskart (lyst = høy amplitude, mørkt = utligning) og legger over nodallinjene der r1 − r2 = mλ (med alternativet for stiplede linjer). Standardavstanden (120 px = 3λ) viser tydelige, vekslende lyse og mørke bånd langs midtnormalen — det samme mønsteret som gir de lyse og mørke stripene i Thomas Youngs dobbeltspalteeksperiment og gir fargebåndene av lys som reflekteres fra en oljefilm.

Feltlinjer for elektrisk felt — tetthet viser styrken

Det elektriske feltet rundt en punktladning Q er en radiell vektor med størrelse E = kQ/r²; for to ladninger er feltet i et hvilket som helst punkt vektorsummen Etotal = E1 + E2. Lerretet tegner 16 feltlinjer fra kildeområdet med en Euler-metodesteg på 4 px i retningen til det lokale feltet. Linjer går ut fra positive ladninger (Q > 0) og ender på negative (Q < 0); i standardeksempelet (Q1 = +5, Q2 = −3, med |Q1·Q2| = 15) viser mønsteret linjer som forlater den røde +-ladningen til venstre, buer utover, og de fleste ender på den blå −-ladningen til høyre, med noen få som slipper unna mot uendelig (fordi størrelsene er ulike). Tettheten av feltlinjer er proporsjonal med feltstyrken: tett pakkede linjer viser sterkt felt, sparsomme linjer viser svakt felt. Å reversere begge fortegnene snur linjenes retning uten å endre geometrien.

Kraftsammensetning — polygonmetoden

Når flere krefter virker på et objekt, er resultanten deres vektorsum, ikke den skalare summen. Polygon- (eller hode-til-hale-) metoden plasserer hver kraftvektor hode til hale med start i origo; resultanten R er vektoren fra origo til den siste spissen. Komponentvis: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²), og θR = arctan(Ry/Rx). Lerretet tegner hver kraft som en farget pil (F1 rød, F2 blå, F3 grønn) fra origo, deretter en stiplet lilla linje fra origo til den siste spissen som viser resultanten, samt lyse grå polygonlinjer som følger banen hode til hale. Standardeksempelet (F1 = 30 N ved 0°, F2 = 25 N ved 60°, F3 = 15 N ved 150°) gir Rx ≈ 29,51 N, Ry ≈ 29,15 N, |R| ≈ 41,48 N og θR ≈ 44,65° — en størrelse større enn noen enkeltkraft, fordi retningene delvis forsterker hverandre.

Vanlige misforståelser
  • Lerretet viser den faktiske fysikken, ikke en skisse. Hver ramme beregnes ut fra den underliggende likningen (Euler-integrasjon for pendler, superposisjon for bølger, vektorsum for krefter). Endres inngangene, endres matematikken; animasjonen er en direkte numerisk visualisering.
  • Et pendels periode avhenger av amplituden. For små amplituder (mindre enn ~15°) er perioden nesten uavhengig av amplituden og lik T = 2π√(L/g). For større amplituder vokser perioden merkbart — en sving på 90° tar omtrent 18 % lengre tid enn småvinkelformelen forutsier. "Sekundpendelet" i en bestefarsklokke er konstruert for en liten sving nettopp for å holde perioden helt stabil.
  • Feltlinjer for elektrisk felt er reelle. De er en visualisering av feltet, ikke fysiske snorer. Det faktiske elektriske feltet er en vektor i hvert punkt i rommet; linjene forbinder bare punkter der feltet er tangentielt på en sammenhengende måte. Man kan ikke "gripe" en feltlinje.
  • Polygon- og parallellogrammetodene gir ulike svar. De gir samme resultant. Parallellogrammetoden fungerer for to krefter; polygonmetoden utvides naturlig til et hvilket som helst antall. Begge er ekvivalente anvendelser av vektoraddisjon.

Relaterte verktøy: Mekanikk for de numeriske kinematiske formlene, Vektorkalkulator for komponentdekomposisjon og skalar-/kryssprodukt, Bølger & svingninger for de fulle likningene for vandrende bølger, Elektrisitet & kretser for strøm-/spenningsmotstykkene, og Optikk & lys for den optiske versjonen av bølgeinterferens (Youngs dobbeltspalte).