Калькулятор астрофизики

Астрофизика — раздел физики, который использует гравитацию и движение как рабочий язык для всего: от Луны до галактики. Шесть калькуляторов на этой панели отвечают на шесть повторяющихся вопросов о любом теле или траектории: с какой скоростью нужно бросить предмет, чтобы покинуть систему? С какой скоростью вращаться по круговой орбите? Сколько длится оборот? До какого размера должна сжаться такая же масса, чтобы стать чёрной дырой? Какое приращение delta-v даёт ракета на единицу топлива? И как далеко находится галактика, свет которой смещён в красную сторону? Всё остальное — расстояния, измеренные параллаксом относительно базы орбиты Земли в одну астрономическую единицу (а.е. = 1,496×10¹¹ м), звёздные величины как логарифмическая шкала яркости, красное смещение z ≈ v/c как низкоскоростная версия закона Хаббла — опирается на ту же ньютоновскую и релятивистскую основу.

Каждое тело массы M и радиуса R создаёт потенциальную яму глубиной GM/R на единицу массы. Чтобы выбраться с поверхности, нужна кинетическая энергия не меньше этой глубины — отсюда скорость отрыва. Подставим Землю: M = 5,972×10²⁴ кг, R = 6,371×10⁶ м — панель выдаёт v_e ≈ 11 186 м/с (11,19 км/с, около Маха 33). Марс — ≈ 5,03 км/с, Луна — 2,38 км/с, Юпитер — 60 км/с (где водород плохое ракетное топливо, но математика та же), а Солнце — 618 км/с. Замечание: формула предполагает отсутствие атмосферного сопротивления и дополнительной тяги; реальная цифра для любой ракеты включает аэродинамические потери, потери на преодоление гравитации при подъёме и потери на управление. Это также скорость от покоя на поверхности; объекту, уже находящемуся на орбите, для ухода с высоты нужна меньшая Δv, а не полное поверхностное значение. Тот же масштаб задаёт вес на поверхности: на Марсе (g = 3,71 м/с²) космонавт массой 70 кг весит 260 Н — масса не меняется, вес следует за местной гравитацией.

Устойчивая круговая орбита уравновешивает центростремительное ускорение и гравитацию: v_o = √(GM/r). Предустановка Земли на панели при r = 7×10⁶ м (около 629 км высоты — территория МКС) даёт v_o ≈ 7 546 м/с и период 5 829 с (~1,62 ч). Реальная МКС летает на высоте ~408 км и делает оборот за ~92,7 минуты; высота на панели — иллюстративное число, а не расписание полётов. Формула также даёт выход на орбиту: умножьте v_o на √2, чтобы получить v_e на той же высоте. Орбитальная скорость не зависит от массы спутника: перо и линкор на одной орбите движутся с одинаковой скоростью (в вакууме), поэтому орбитальная механика считает спутники материальными точками.

T² = (4π²/GM) · a³ связывает орбитальный период с большой полуосью. Предустановка Солнце–Земля на панели (M = 1,989×10³⁰ кг, a = 1,496×10¹¹ м = 1 а.е. по определению) даёт T ≈ 365,21 сут. — ровно длину нашего года. Обратная задача — по периоду в секундах вычислить a — именно так астрономы измеряют большую полуось любого спутника, период которого могут засечь. Та же база в 1 а.е. лежит и в основе определения парсека: звезда, показывающая смещение параллакса в 1 угловую секунду на фоне неба при движении Земли на 2 а.е., находится ровно в 1 парсеке = 3,26 светового года — и 1 парсек = 206 265 а.е. На межзвёздных масштабах километры и световые годы неудобны; рабочими единицами служат парсеки и а.е.

Если сжать массу M до радиуса Шварцшильда R_s = 2GM/c², никакой сигнал изнутри не выберется наружу: это горизонт невращающейся чёрной дыры. Для обычных масс числа удивительно малы: R_s Земли составляет около 8,87 мм — меньше шарика; у Солнца — около 2,95 км. Чтобы сжать любое из них в такой объект, потребовались бы плотности, которых не обеспечивает ни одно известное состояние вещества. Реальные чёрные дыры образуются при гибели звёзд: 14,76 км для остатка в 5 M_⊙ (предустановка «малая ЧД» на панели) — правильный порядок величины для объектов класса Лебедь X-1, тогда как сверхмассивная чёрная дыра в 4×10⁶ M_⊙, как Стрелец A* в центре нашей галактики, имеет R_s ≈ 1,18×10¹⁰ м (около 17% орбиты Меркурия). Радиус Шварцшильда — координатное предсказание общей теории относительности; реальный горизонт вращающейся (керровской) чёрной дыры отличается и может быть меньше.

Закон сохранения импульса для ракеты, выбрасывающей выхлоп назад со скоростью v_e при отношении масс m₀/m_f, даёт Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Загружаемый в панели пример (v_e = 3000 м/с, m₀ = 500 000 кг, m_f = 50 000 кг) даёт Δv ≈ 6 907,76 м/с при отношении масс 10 и доле топлива 90%. Уравнение жёстко логарифмично: удвоение топлива добавляет v_e·ln(2) к Δv, но никогда не удваивает его. Для выхода на низкую околоземную орбиту требуется около 9,4 км/с суммарной Δv; для переходной орбиты к геостационарной — около 11,5 км/с; для перелёта к Луне — около 12,5 км/с. Именно поэтому ракеты многоступенчатые, верхние ступени составляют крошечную долю стартовой массы, а одноступенчатый выход на орбиту остаётся упорно трудным.

Наблюдение Эдвина Хаббла 1929 года, что галактики удаляются со скоростью, пропорциональной расстоянию, даёт d = v/H₀. При H₀ = 70 км/с/Мпк галактика со скоростью v = 1 000 км/с находится на расстоянии d ≈ 14,286 Мпк ≈ 4,66×10⁷ световых лет. Для близких галактик скорость удаления составляет малую долю c, поэтому z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; линейный закон Хаббла тогда оказывается частным случаем космологического разбегания в расширяющейся Вселенной. Соотношение перестаёт работать при большом красном смещении (z > 0,1), где вступает полная космологическая модель, поэтому в информационном блоке сказано, что формула предназначена для «относительно близких» галактик — такое же предостережение применимо к использованию v_e или v_o вблизи скорости света (релятивистские поправки становятся существенны). Лестница космологических расстояний — от параллакса через цефеиды и сверхновые типа Ia к потоку Хаббла — и калибрует сам H₀; и текущее «напряжение H₀» между локальными и выведенными по реликтовому излучению значениями остаётся одной из открытых проблем космологии.

• Вторая космическая скорость — это скорость запуска с земли. Это скорость от покоя на заданном радиусе без дополнительной тяги; ракета, поднимающаяся с малой постоянной тягой часами, не обязана в какой-то момент достичь v_e.
• Чёрные дыры втягивают всё, как пылесос. Радиус горизонта задаётся центральной массой, а не тем, что «притягивается». При r » R_s гравитация — это просто Ньютон; и лишь очень близко к горизонту она становится неизбежной. Солнце, будь оно чёрной дырой той же массы, вообще не изменило бы орбиту Земли.
• Больше топлива — пропорционально больше Δv. Формула Циолковского логарифмична: удвоение топлива добавляет v_e·ln(2), а не удваивает delta-v. Это самое важное число для ракетостроения.
• Параллакс измеряет размеры звёзд. Параллакс измеряет расстояние тем же геометрическим методом триангуляции, что и геодезисты: чем больше база, тем дальше можно измерить. База в 2 а.е. из годичной орбиты Земли делает парсек естественной единицей.

Связанные инструменты: Механика для базовой кинематики, Современная физика для релятивистских эффектов на высоких скоростях и Калькулятор для алгебры, которая работает с приведёнными выше формулами.