Калькулятор векторов

Операции с 2D- и 3D-векторами с визуализацией стрелок на Canvas в реальном времени. Вычисляйте скалярное и векторное произведения, угол, модуль, единичный вектор, сложение и разложение векторов. Также: Механика | Цепи | Термодинамика.
Выберите операцию:
x y
x y
Операции с векторами: скалярное произведение: A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz в 3D). Векторное произведение (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Угол: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). Проекция: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Единичный вектор: u = A/|A|. Модуль: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Что такое векторы?

Вектор — величина, имеющая и модуль, и направление: сила, скорость, ускорение, импульс, электрическое и магнитное поля, угловой момент. Для сравнения, скаляр — просто число: масса, время, энергия, температура. Геометрически вектор рисуется стрелкой, длина которой — модуль, а угол задаёт направление; алгебраически — упорядоченный список компонент: две на плоскости и три в пространстве. Шесть операций покрывают почти всё, что делают с векторами: модуль |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), сложение покомпонентно, скалярное произведение A·B = ΣAiBi, векторное произведение A×B (только в 3D), угол из cosθ = A·B/(|A||B|), и единичный вектор / проекция. Панель реализует все шесть в 2D и 3D с мгновенным графиком на Canvas — увидеть две стрелки и их сумму или произведение — разница между абстрактными манипуляциями и физической интуицией.

Три произведения делают всё, что нужно: скалярное произведение (скаляр, измеряющий совпадение направлений, A·B = |A||B|cosθ), векторное произведение (вектор, перпендикулярный обоим входам, модуль |A||B|sinθ) и оператор проекции (компонента A вдоль выбранного направления). Они — учёт каждой физической формулы, включающей более одного вектора.
Модуль и канонический пример 2D — прямоугольный треугольник 3-4-5

Прямоугольный треугольник 3-4-5 — канонический пример для 2D-векторов. Возьмём A = (3, 4). Его модуль |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Его направление от оси +x — arctan(4/3) ≈ 53,13°. Любой 2D-вектор можно записать как модуль, умноженный на единичный вектор в этом направлении: A = 5·(0,6; 0,8). Панель разложения принимает модуль и углы θ и φ и возвращает компоненты x, y, z по сферической (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) или плоской (при игнорировании φ: x = r cosθ, y = r sinθ) схеме. Для r = 10, θ = 36,87° в 2D-режиме получается (8, 6, 0) — треугольник 6-8-10, масштабированный из 3-4-5. Узнавание таких целочисленных треугольников — способ быстро определить перпендикулярные компоненты без тригонометрии.

Скалярное произведение — скалярная мера совпадения направлений

Для двух векторов A и B скалярное произведение A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) — скаляр, равный |A||B|cosθ — произведению модулей на косинус угла между ними. Пример 2D по умолчанию (A = (3, 4), B = (5, 2)) даёт A·B = 15 + 8 = 23, модули |A| = 5 и |B| = √29 ≈ 5,385, и cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, поэтому θ ≈ 31,33°. Три знаковых следствия несут всю интерпретацию: cosθ > 0 — угол острый, векторы в целом направлены одинаково; cosθ < 0 — угол тупой, векторы противоположны; cosθ = 0 — перпендикулярны. Скалярное произведение — работа силы F вдоль перемещения d (W = F·d), а косинус объясняет, почему давление под углом менее эффективно, чем давление вдоль линии движения.

Векторное произведение — вектор, перпендикулярный обоим входам

Векторное произведение — операция только в 3D, результат которой — вектор, перпендикулярный обоим входам, с модулем |A||B|sinθ и направлением по правилу правой руки (указательный палец по A, средний по B, большой даёт A×B). В компонентах A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Пример 3D по умолчанию (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) даёт A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Векторное произведение антисимметрично: B×A = −A×B, поэтому перестановка входов меняет знак. Три появления в физике: момент силы τ = r×F (вращательная сила), угловой момент L = r×p (орбитальный угловой момент) и магнитная сила F = qv×B на движущийся заряд. Модуль |A×B| равен площади параллелограмма, натянутого на два вектора, поэтому результаты векторного произведения всегда описывают площадь или вращение. Момент силы — векторное произведение в действии: τ = r×F имеет модуль |r||F|sinθ, поэтому давление через точку опоры даёт ноль, а более длинный ключ даёт больший момент.

Угол между векторами

Имея скалярное произведение и модули, угол — это один арккосинус: cosθ = A·B/(|A||B|), с θ в [0, π]. Малое скалярное произведение относительно модулей означает почти перпендикулярные векторы; скалярное произведение, равное |A||B|, означает, что векторы направлены одинаково (θ = 0); равное −|A||B| — противоположно (θ = π). Формула одна и та же в 2D и 3D — различается только размерность сумм компонент. Геометрически скалярное произведение можно рассматривать как проекцию A на B (или B на A), умноженную на модуль другого, поэтому косинус — буквально отношение проекций.

Единичный вектор и проекция

Единичный вектор — вектор с модулем 1, направленный так же, как исходный: u = A / |A|. Единичные векторы — способ описать «чистое направление»; базисные векторы i, j, k декартовых координат — канонические примеры, а любое направление в 3D записывается как линейная комбинация их. Проекция A на B (или компонента A вдоль B) — projBA = (A·B / |B|²) · B — часть A, лежащая вдоль B. Скалярная версия (A·B/|B|) — знаковая длина этой проекции. Именно поэтому скалярное произведение — формула работы: компонента перемещения вдоль силы, умноженная на модуль силы, — это совершённая работа.

Заблуждения
  • Скалярное произведение — умножение векторов. Это скалярное произведение — даёт число, а не вектор. Аналогично векторное произведение — векторное. Называя их «умножением», скрываете, что результаты совершенно разные.
  • Векторное произведение — скаляр. В 2D перпендикулярная компонента иногда называется скаляром (определитель axby − aybx), но в 3D векторное произведение — действительно вектор. Модуль и направление физически значимы оба.
  • Векторное произведение коммутативно. Оно антикоммутативно: A×B = −B×A. Порядок важен — момент r×F имеет противоположный смысл F×r.
  • У вектора фиксированное положение. Векторы свободны — их можно сдвигать по странице, не меняя. Фиксированы их модуль и направление; только некоторые векторы в физике (радиус-векторы, электрическое поле в точке) привязаны к месту.

Связанные инструменты: Механика — для момента, работы и углового момента в контексте, Вращательная динамика — для того, как векторное произведение строит угловой момент, и Цепи — для магнитной силы F = qv×B.