Калькулятор волн и колебаний

Колебания и волны — одна и та же физика в разных костюмах. Колебание — всё, что движется туда и обратно вокруг положения равновесия: груз на пружине, грузик маятника, напряжение на конденсаторе, высота струны гитары, давление внутри звуковой волны. Волна — колебание, которое распространяется: то же движение туда и обратно, но теперь в каждой точке пространства оно происходит с немного другим временем, поэтому снимок показывает синусоидальную картину, которая перемещается. Оба явления управляются одним дифференциальным уравнением — гармонического осциллятора (ГО) x''(t) = -ω²x(t), общее решение которого — синусоида x(t) = A cos(ωt + φ). Отсюда период T = 2π/ω, частота f = ω/(2π), максимальная скорость v_max = Aω, максимальное ускорение a_max = Aω². Шесть панелей этой страницы охватывают канонические случаи: сам ГО, маятник как часы, волновое уравнение v = fλ для бегущих волн, доплеровский сдвиг при движении источника или наблюдателя, LC-резонанс как электрический аналог груза на пружине и частоту биений при интерференции двух близких тонов.

ГО — любое движение, в котором возвращающая сила (или момент, или напряжение, или разность давлений) пропорциональна смещению от равновесия. Груз на пружине — классический случай: F = -kx даёт x'' = -(k/m)x, поэтому ω = √(k/m). Положение в любой момент x(t) = A cos(ωt + φ), скорость v(t) = -Aω sin(ωt + φ), ускорение a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). С примером (A = 0,1 м, ω = 6,28 рад/с) T = 2π/ω ≈ 1,0005 с, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Гц, v_max = Aω = 0,628 м/с, a_max = Aω² ≈ 3,9438 м/с². Если ввести и время t, калькулятор выведет мгновенные x(t), v(t), a(t) — три синусоиды, сдвинутые на 90° по фазе. ГО проявляется в атомных решётках (где описывает фононы), в цепях переменного тока (напряжение и ток колеблются синусоидально с ω = 2πf) и в любых малых колебаниях около равновесия.

Маятник длины L, качающийся под действием силы тяжести g при малых углах (θ < ~15°), удовлетворяет уравнению ГО с ω = √(g/L). Период — знаменитое T = 2π√(L/g), которое Галилей первым заметил: он не зависит ни от массы грузика, ни от размаха. При L = 1 м и g = 9,81 м/с² (Земля) T ≈ 2,006 с — каноническая «секундный маятник», который изначально определял метр (половина периода = 1 с). На Луне при g = 1,62 м/с² тот же маятник длиной 1 м имеет T ≈ 4,94 с; на Марсе (g = 3,72 м/с²) T ≈ 3,26 с. При амплитудах выше ~15° приближение малых углов начинает расходиться, и вступает поправочный член, поэтому настоящие напольные часы используют длинный медленный маятник (малая амплитуда), а не короткий быстрый. Масса грузика сокращается в √(g/L): тяжёлый и лёгкий грузики на одной нити имеют одинаковый период.

Каждая бегущая волна — звук, свет, вода или сейсмическая — подчиняется одному фундаментальному соотношению: v = fλ — скорость волны равна частоте, умноженной на длину волны. Три режима здесь решают любую одну неизвестную по двум другим. Пример (f = 440 Гц, λ = 0,78 м) даёт v = 343,2 м/с — ровно скорость звука в воздухе при 20°C. Три опорные скорости задают порядки величин: звук в воздухе ~343 м/с, звук в воде ~1480 м/с, свет в вакууме c = 3×10⁸ м/с. Чтобы перевести волну из одной среды в другую, используется закон Снеллиуса (см. страницу оптики) для преломления, но внутри однородной среды v задаётся её свойствами (плотностью и жёсткостью для звука, диэлектрической и магнитной проницаемостями для света).

Эффект Доплера — изменение наблюдаемой частоты, когда источник и наблюдатель движутся относительно друг друга. Классическая формула — f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), где верхний знак в числителе берётся, когда наблюдатель движется к источнику (слышит более высокий тон), а нижний знак в знаменателе — когда источник движется к наблюдателю (тоже слышит более высокий тон). Пример (f = 1000 Гц, v = 343 м/с, источник неподвижен, наблюдатель движется к источнику со скоростью 30 м/с): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Гц — сдвиг +87,46 Гц или +8,75%. Тот же источник, движущийся на неподвижного слушателя со скоростью 30 м/с, даёт тот же ответ (формула симметрична). При больших скоростях становится существенной релятивистская поправка; для радара, измеряющего машину со скоростью 30 м/с, фактор γ отличается от 1 лишь примерно на 5×10⁻¹⁷, поэтому классическая формула достаточна для звука, а для света нужна релятивистская версия.

LC-контур (индуктивность L параллельно ёмкости C) — электрический аналог груза на пружине: заряд играет роль смещения, ток — роль скорости, индуктивность L — роль массы, а 1/C — роль жёсткости пружины. Заряд колеблется с ω = 1/√(LC), или, эквивалентно, f = 1/(2π√(LC)). Пример (L = 100 мГн, C = 10 мкФ) даёт LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, поэтому f ≈ 159,15 Гц с угловой частотой ω ≈ 1000 рад/с и периодом T ≈ 6,28×10⁻⁷ с. У реальных LC-контуров есть и сопротивление, которое вызывает затухание колебаний — именно скорость затухания минимизирует настройка AM-радиоприёмника, чтобы чисто выделить станцию. Если добавить управляемый источник точно на частоте f, контур входит в резонанс: амплитуды напряжения и тока становятся намного больше, чем вне резонанса.

Когда два тона с немного различающимися частотами звучат вместе, давление воздуха — сумма двух синусоид, что по тригонометрии равно косинусу на средней частоте f_p = (f₁ + f₂)/2, модулированному медленной огибающей с частотой f_beat = |f₁ − f₂|. Ухо слышит средний тон, нарастающий и затухающий с частотой биений. Пример (f₁ = 440 Гц, f₂ = 445 Гц) даёт f_beat = 5 Гц, f_p = 442,5 Гц, период биений 0,2 с — отчётливо слышимые пульсации 5 раз в секунду. Ниже ~10 Гц биения слышатся как отдельные импульсы; выше ~30 Гц они сливаются в шероховатость или тремоло. Настройщики пианино используют это: они бьют эталонный тон и настраиваемую струну, слушают биения и подкручивают, пока биения не исчезнут. Когда струны идеально настроены, f_beat = 0, и калькулятор выводит «Одинаковые частоты — биений нет».

• Период и частота — не одно и то же. T (секунды на цикл) и f (циклы в секунду) — обратные величины. T = 1/f. Колебание 0,5 Гц совершает один цикл за 2 секунды.
• Период маятника слабо зависит от амплитуды. Точный период при конечной амплитуде θ₀ равен T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). При 15° это поправка 0,7%, при 30° — около 1,7%; в вводных задачах её обычно игнорируют.
• Доплеровский сдвиг одинаков, движется источник или наблюдатель. Движется ли источник на неподвижного наблюдателя или наблюдатель на неподвижный источник с той же скоростью, сдвиг высоты тона идентичен (нерелятивистски).
• Резонанс — не то же самое, что максимальная амплитуда. Резонанс — условие ω_возб = ω_собств. При затухании пиковая амплитуда ниже значения без затухания; без затухания амплитуда растёт без предела (ограниченная лишь нелинейностью).

Связанные инструменты: Современная физика — для волн де Бройля и корпускулярно-волнового дуализма, Электричество и цепи — для анализа переменного тока, где находится LC-резонанс, и Оптика и свет — для электромагнитных волн.