Оптика — физика света: как он преломляется, отражается, фокусируется, дифрагирует и раскладывается в спектры. Пять основных правил управляют всем. Закон Снеллиуса (n1sinθ1 = n2sinθ2) описывает, как свет преломляется на границе двух прозрачных сред; уравнение зеркала (1/f = 1/u + 1/v, где f = R/2) и формула тонкой линзы (той же формы) описывают, как отражающие и преломляющие поверхности формируют изображения; критический угол (sinθc = n2/n1) задаёт границу, выше которой полное внутреннее отражение удерживает свет внутри более плотной среды; уравнения дифракционной решётки (d sinθ = mλ) раскладывают белый свет на составляющие длины волн; а угол Брюстера (θb = arctan(n2/n1)) — угол, при котором отражённый свет становится полностью поляризованным. Показатель преломления n = c/v — сквозная константа: он задаёт скорость света в среде, преломление на границе и угол каждого эффекта выше.
Два эквивалентных утверждения: 1/f = 1/u + 1/v для линз и зеркал (различаются только правило знаков и то, откуда берётся f); и n·sinθ = n·sinθ, которое управляет каждым преломлением, включая критический угол, угол Брюстера и дисперсию.
Закон Снеллиуса — преломление на границе
Свет, идущий в среде 1, падает на границу под углом θ1 к нормали; в среде 2 он распространяется под углом θ2, причём n1·sinθ1 = n2·sinθ2. Пример по умолчанию (n1 = 1,00 воздух, θ1 = 30°, n2 = 1,50 стекло) даёт θ2 ≈ 19,47°: луч при входе в более плотную среду отклоняется к нормали. В обратном направлении (стекло в воздух) он отклоняется от нормали; если θ1 превышает arcsin(n2/n1) — критический угол, — формула перестаёт работать, потому что реального θ2 не существует, и весь свет отражается (полное внутреннее отражение). Показатель преломления зависит и от длины волны, поэтому стеклянная призма раскладывает белый свет в радугу: у каждой длины волны свой немного отличающийся n и поэтому отклонение немного другое — это явление называется дисперсией.
Формула тонкой линзы — связь сопряжённых расстояний
Для тонкой линзы с расстоянием до предмета u и расстоянием до изображения v фокусное расстояние f подчиняется 1/f = 1/u + 1/v, а линейное увеличение равно M = −v/u. Пример по умолчанию (u = 30 см, v = 15 см) даёт f = 10 см и M = −0,5 — изображение действительное, перевёрнутое и вдвое меньше предмета. Положительное f означает собирающую (выпуклую) линзу, отрицательное — рассеивающую (вогнутую). Два режима работы дают разные типы изображений: когда u > f, линза создаёт действительное перевёрнутое изображение на противоположной стороне (схема проектора); когда u < f, изображение мнимое, прямое и увеличенное, с той же стороны, что и предмет (схема лупы). Знак v несёт всю геометрию: положительное v означает, что изображение действительное и расположено по другую сторону линзы, отрицательное — мнимое и с той же стороны, что и предмет. На этом уравнении работают очки: рассеивающая линза (отрицательные диоптрии) переносит фокус близорукости, лежащий перед сетчаткой, на сетчатку, а собирающая линза (положительные диоптрии) переносит фокус дальнозоркости, лежащий за сетчаткой, вперёд; диоптрия — это просто 1/f в метрах.
Уравнение зеркала — отражение тоже формирует изображения
Уравнение зеркала по форме то же самое, 1/f = 1/u + 1/v, а фокусное расстояние связано с радиусом кривизны соотношением f = R/2. У вогнутого (собирающего) зеркала f > 0; у выпуклого (рассеивающего) зеркала f < 0. Пример по умолчанию (R = 20 см, u = 30 см, вогнутое) даёт f = 10 см, расстояние до изображения v ≈ 15 см и увеличение M = −0,5: действительное, перевёрнутое изображение вдвое меньшего размера. Искривлённые зеркала имеют одно преимущество перед линзами: они одинаково работают на любой длине волны, поэтому крупнейшие телескопы (Hubble, JWST, будущий ELT) — зеркальные, а не линзовые. Выпуклые зеркала, используемые как боковые зеркала автомобилей, дают более широкий обзор, потому что формируют меньшее прямое мнимое изображение за стеклом; надпись «объекты в зеркале ближе, чем кажутся» — просто отражение того, что модуль увеличения −v/u меньше 1.
Критический угол — полное внутреннее отражение
Когда свет пытается выйти из более плотной среды (n1) в менее плотную (n2), при углах падения выше θc = arcsin(n2/n1) преломлённого луча больше не существует, и 100% света отражается обратно. Пример по умолчанию (n1 = 1,50 стекло, n2 = 1,00 воздух) даёт θc ≈ 41,81°; любой луч из стекла в воздух, более крутой, чем это, оказывается запертым. Это принцип оптических волокон: свет, введённый сверх критического угла, отражается вдоль сердцевины на километры без потерь, кроме поглощения. Бриллианты сверкают отчасти из-за очень высокого n (≈2,42), что даёт критический угол всего около 24°; свет, входящий через верхнюю грань, попадает на внутренние грани под более крутыми углами и отражается обратно через верх — характерная игра.
Дифракционная решётка — длина волны через интерференцию
Решётка — это множество параллельных щелей, а разность хода между соседними щелями определяет конструктивную интерференцию: d·sinθ = m·λ, где d — расстояние между щелями, θ — угол дифракции, m — номер порядка (0, ±1, ±2, ...). Пример по умолчанию (600 штрихов/мм, m = 1, θ = 20°) даёт λ ≈ 570,03 нм — жёлтый диапазон; панель правильно определяет цвет. Решётки превосходят призмы в спектроскопии, потому что их дисперсия линейна по длине волны, разрешающая способность равна m·N (где N — число освещённых штрихов), а геометрия позволяет создать прибор с тысячами штрихов на миллиметр. То же уравнение решётки объясняет переливы компакт-дисков и DVD, радужный блеск крыла бабочки и спектры, получаемые при рентгеновской дифракции в кристаллографии.
Угол Брюстера — поляризация даром
При θb = arctan(n2/n1) отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны друг другу, а отражённый луч становится полностью поляризованным, причём электрическое поле параллельно поверхности. Пример по умолчанию (воздух n1 = 1,00, стекло n2 = 1,50) даёт θb ≈ 56,31°. Угол Брюстера — принцип работы поляризационных солнцезащитных очков (линзы ориентированы так, чтобы блокировать горизонтальные блики, отражённые от капотов автомобилей и воды, которые для типичных поверхностей поляризованы по s-компоненте примерно под углами 30–40°) и лазерных резонаторов (брюстеровские окна устраняют потери на отражение для одной поляризации). Под любым углом, отличным от θb, отражение лишь частично поляризовано, поэтому отражённый дневной свет — беспорядочная смесь.
Распространённые заблуждения
- Стекло «поглощает» большую часть падающего на него света. Чистое стекло почти ничего не поглощает; оно отражает несколько процентов на каждой поверхности (френелевское отражение, около 4% на поверхность при нормальном падении), а остальное преломляет. Просветляющие покрытия — это слои в четверть длины волны, которые заставляют два отражённых волновых фронта гасить друг друга.
- Выпуклые линзы всегда увеличивают, вогнутые всегда уменьшают. Всё зависит от расстояния до предмета. Собирающая линза с предметом внутри фокусного расстояния даёт увеличенное мнимое изображение (лупа). Рассеивающая линза может дать действительное изображение только если предмет мнимый, а в повседневном использовании это никогда не так.
- Дифракция размывает каждое изображение. Дифракция существенна только тогда, когда апертура сравнима с длиной волны. Диафрагма камеры 5 мм даёт размытие от дифракции около λ/D радиан ≈ 0,0001 рад — невидимо при обычном рассматривании. Объектив микроскопа того же масштаба, с D ~ 1 мм и λ ~ 500 нм, имеет дифракционный предел разрешения около 0,3 мкм — поэтому используют иммерсию маслом и свет более короткой длины волны, чтобы преодолеть этот предел.
- Призма «разделяет» свет. Свет разделяется, потому что показатель преломления зависит от длины волны; если бы n был одинаков для всех цветов (ахроматическая конструкция), призма преломляла бы белый свет, но не разлагала бы его. Та же идея делает линзы хроматическими, поэтому в объективах камер используют составные ахроматические дублеты.
Связанные инструменты: Волны и колебания — для каркаса интерференции и дифракции, Современная физика — для фотонного взгляда на свет и Спектроскопия — для того, что спектроскопия делает с длинами волн, которые дают эти правила.
