Классическая механика и электромагнетизм прекрасно работают, пока скорости не приближаются к скорости света или размеры — к атомным масштабам; современная физика описывает область за их пределами. Она делится на три направления: специальная теория относительности (большие скорости, где c — предельная скорость, а масса, длина и время зависят от наблюдателя), квантовая механика (малые масштабы, где энергия квантуется, частицы обладают волновыми свойствами, а само наблюдение влияет на результат) и ядерная и физика частиц (связывание и распад атомных ядер, где сама масса — это резервуар энергии). Шесть калькуляторов на этой панели охватывают уравнения, которые следуют из этих трёх направлений: лоренцево сокращение и замедление времени, длина волны де Бройля, фотоэффект, E = mc², радиоактивный распад и модель водорода Бора — а также универсальные константы c, h и эВ, которые проходят через все они.
Две универсальные константы делают почти всё здесь: c = 299 792 458 м/с для относительности (скорость света одинакова во всех направлениях для каждого наблюдателя) и h = 6,626×10−34 Дж·с для квантовой физики (каждое взаимодействие обменивается энергией порциями размера hf). Добавьте перевод 1 эВ = 1,602×10−19 Дж для работы на атомном масштабе — и большинство чисел панели легко держать в голове.
Специальная относительность — c как предел
Постулат Эйнштейна 1905 года: скорость света c одинакова в каждой инерциальной системе отсчёта, и физические законы одинаковы в каждой инерциальной системе. Следствие для времени и длины — лоренц-фактор γ = 1/√(1 − v²/c²), который увеличивает время (Δt = γ·T0) и сокращает длину (L = L0/γ) в движущейся системе. Пример по умолчанию (v = 0,8 c, T0 = 1 с, L0 = 10 м) даёт γ ≈ 1,667: часы на быстро летящем корабле отсчитывают 1 с собственного времени, пока для неподвижного наблюдателя проходит 1,667 с, а корабль длиной 10 м кажется длиной 6 м. При v = 0,5 c γ всего 1,155 — почти незаметно; при v = 0,99 c γ равна 7,09, и релятивистские эффекты драматичны. Сеть GPS должна поправлять замедление времени спутниковых часов на орбитальных скоростях (~45 мкс/сут медленнее) и гравитационное смещение в синюю сторону (~45 мкс/сут быстрее); эти эффекты почти компенсируют друг друга, но не полностью — без поправок через сутки координаты GPS были бы неверны примерно на 10 км.
Длина волны де Бройля — у материи есть волны
Свет — и волна, и частица; по симметрии каждая частица с импульсом p тоже является волной с длиной волны λ = h/p = h/(mv). Пример по умолчанию (электрон при v = 106 м/с) даёт λ ≈ 0,727 нм — на границе рентгеновского и мягкого рентгеновского диапазона. Это предел разрешения электронного микроскопа — поэтому электронная микроскопия превосходит световую на порядки. Для бейсбольного мяча при 40 м/с (144 км/ч) λ ≈ 10−34 м — на много порядков меньше протона, поэтому бейсбольные мячи не дифрагируют на заборах. Корпускулярно-волновой дуализм универсален; лишь малость постоянной h не даёт обычной материи выглядеть квантовым объектом.
Фотоэффект — доказанное квантование
Свет, падающий на металл, выбивает электроны, но только если энергия фотона превышает работу выхода металла φ: КЭ = hf − φ, где f — частота света, h — постоянная Планка. Пример по умолчанию (поверхность, похожая на медь, φ = 4,3 эВ, λ = 200 нм ультрафиолет) даёт энергию фотона hf = 1240/200 = 6,2 эВ и кинетическую энергию электрона 1,9 эВ, со скоростью электрона около 8,16×105 м/с. Ниже пороговой частоты (φ/h в Гц, или 1240/φ в нм·эВ — 288 нм для меди) электроны не вылетают независимо от интенсивности. Этот эффект решил спор о природе света в 1905 году, потому что классическая физика предсказывает, что энергия электронов должна зависеть от интенсивности, а не от частоты.
E = mc² — масса есть энергия
Эквивалентность массы и энергии E = mc² связывает массу с энергией огромным коэффициентом пропорциональности (c² = 8,988×1016 Дж/кг). В одном килограмме массы заключено 8,988×1016 Дж — энергия, высвобождаемая при взрыве термоядерного оружия мощностью 21,5 мегатонны; либо, иначе говоря, суточное потребление энергии всей мировой экономикой (~5×1020 Дж) потребовало бы аннигиляции всего около 5 500 кг массы. На практике превращение никогда не бывает полным: ядерное деление высвобождает около 0,1% массовой энергии, термоядерный синтез — около 0,7%, а аннигиляция вещества и антивещества — все 100%. Дефект массы (разность между суммой масс нуклонов и реальной массой ядра) — это энергия связи, высвобождаемая при образовании ядер, поэтому таблицы энергии связи соседствуют с таблицами масс в каждом справочнике по ядерным данным.
Период полураспада — вероятностные часы
Каждое нестабильное ядро имеет фиксированную вероятность распада за единицу времени, не зависящую от его возраста или химического окружения. Результат — экспоненциальный распад: N(t) = N0·(1/2)t/T½. Пример по умолчанию (N0 = 1000 атомов, T½ = 10 с, t = 25 с) даёт N ≈ 176,78 оставшихся (около 17,7%) и 823,22 распавшихся (82,3%) — после 2,5 периодов полураспада. Средняя продолжительность жизни равна τ = T½/ln(2) ≈ 1,443·T½ (средний атом живёт дольше периода полураспада, потому что некоторые живут намного дольше медианы). Постоянная распада λ = ln(2)/T½ — вероятность распада за единицу времени; активность A = λ·N — число распадов в секунду, единица которой — беккерель (1 Бк = 1 распад/с). Радиоуглеродное датирование использует именно это соотношение с T½ = 5 730 лет, чтобы датировать органику возрастом до примерно 50 000 лет; для более древних образцов его сменяет калий-аргоновый метод (T½ = 1,25 млрд лет).
Водород Бора — квантованные орбиты
Простейший квантовый атом: электрон может находиться только на определённых орбитах с энергией En = −13,6/n² эВ (n = 1, 2, 3, ...). Переходы между орбитами испускают или поглощают фотоны с энергией, равной разности. Пример по умолчанию (ni = 3 → nf = 2, линия Hα) даёт ΔE ≈ 1,889 эВ и длину волны ≈ 656,5 нм — глубокая красная линия Hα, та же длина волны, которая окрашивает эмиссионные туманности в розовый цвет на фотографиях. Переходы на n = 1 образуют серию Лаймана (ультрафиолет), на n = 2 — серию Бальмера (видимая область), на n = 3 — серию Пашена (ближний инфракрасный) и так далее. Модель Бора неверна в деталях (реальный атом водорода описывается уравнением Шрёдингера с облаками вероятности вместо орбит), но достаточно верна, чтобы точно предсказать спектр водорода и служить мостом от классического к квантовому мышлению.
Распространённые заблуждения
- Замедление времени — это «просто перспектива». Замедленное время физично, а не кажущееся. Мюон, рождённый космическими лучами высоко в атмосфере, живёт достаточно долго (в нашей системе отсчёта), чтобы долететь до земли, потому что его большой γ увеличивает время жизни в этот раз. Сам мюон видит сжатую атмосферу — и физика та же: обе точки зрения сходятся в том, что достигает земли.
- E = mc² превращает массу в энергию. Масса не «становится» энергией; она и есть энергия. Уравнение говорит, что масса и энергия — одна и та же величина, измеренная в разных единицах. Ядро, которое легче своих составляющих на Δm, высвободило Δm·c² энергии связи; эта энергия всегда была, просто не в форме массы.
- Свет — это «либо волна, либо частица». Ни то, ни другое по отдельности. Свет ведёт себя как волна в интерференции и как частица (фотон) при испускании и поглощении. Эти два описания дополняют друг друга, а не противоречат.
- Релятивистская масса растёт со скоростью. Современное употребление отказалось от этого понятия: «массой» называют только массу покоя m0. Полная энергия растёт с γ (E = γm0c²), но называть это «релятивистской массой» затемняет геометрию 4-импульса и уже не является стандартом.
Связанные инструменты: Электрические цепи для классического электрического фона, Термодинамика для статистической механики и теоремы о равнораспределении, и Справочник констант для значений всех используемых здесь констант.
