Два закона сохранения делают основную работу: сохранение массы даёт неразрывность (Q = A·v, A1v1 = A2v2), сохранение энергии вдоль линии тока даёт Бернулли (P + ½ρv² + ρgh = const). Всё остальное — выталкивание, гидростатическое давление, сопротивление — частный случай или следствие.
Архимедова сила — вес вытесненной жидкости
Любое тело, погружённое в жидкость, испытывает направленную вверх силу, равную весу вытесненной жидкости: Fb = ρ·V·g, где ρ — плотность жидкости, V — объём вытесненной жидкости, g — ускорение свободного падения. Пример по умолчанию (ρ = 1000 кг/м³ пресная вода, V = 0,01 м³, g = 9,81 м/с²) даёт Fb ≈ 98,1 Н — вес 10 кг воды. Именно поэтому деревянный брусок массой 10 кг (плотность 700 кг/м³) наполовину погружён: половина его объёма вытесняет половину веса. Тело плавает, когда его средняя плотность меньше плотности жидкости; тонет, когда больше; висит в толще, когда равна. Для газов то же соотношение работает с ρ около 1,2 кг/м³ у уровня моря, поэтому гелиевый шар поднимает всего около 1 грамма на литр — перепад плотностей очень мал.
Гидростатическое давление — вес столба
В неподвижной жидкости давление растёт линейно с глубиной: P = P0 + ρg·h, где P0 — давление на поверхности (атмосферное, 101 325 Па у уровня моря). Пример по умолчанию (20 м пресной воды) даёт избыточное давление ρg·h = 196 200 Па и полное давление 297 525 Па (около 2,94 атм, 2,98 бар). Давление зависит только от глубины и плотности жидкости, но не от формы сосуда — «гидростатический парадокс», — потому что каждый элемент жидкости на глубине h несёт одинаковый столб вещества над собой. Закон Паскаля: изменение давления, приложенное к замкнутой жидкости, передаётся без ослабления в каждую её точку; поэтому гидравлические подъёмники умножают силу: малая сила на малом поршне создаёт то же давление, что поднимает большой поршень с пропорционально большей силой.
Бернулли — энергия вдоль линии тока
Для стационарного несжимаемого течения без вязкости энергия на единицу объёма сохраняется вдоль любой линии тока: P + ½ρv² + ρgh = const. Пример по умолчанию начинается с атмосферного давления, v1 = 2 м/с, h1 = 10 м, и заканчивается при v2 = 4 м/с, h2 = 5 м — панель выдаёт P2 ≈ 144 375 Па при постоянной примерно 201 425 Па. Падение высоты добавляет потенциальное давление; рост скорости забирает статическое давление. Это рабочий принцип трубки Вентури (сужение трубы ускоряет поток и понижает давление), карбюратора (горловина в воздушном канале понижает давление и подсасывает топливо), крыла самолёта (верхняя поверхность ускоряет воздух, понижая его давление, и крыло поднимается) и трубки Пито (разность давлений измеряет скорость). Бернулли не работает там, где течение нестационарно, сжимаемо или вязко, — в частности, при больших числах Рейнольдса, где турбулентность делает давление шумным, а формула усредняет его по времени. Подъёмная сила крыла в основном следует из третьего закона Ньютона — отклонения воздушного потока вниз, — а перепад давления Бернулли — это учёт, а не причина.
Расход — сколько в секунду
Объёмный расход равен Q = A·v, где A — площадь поперечного сечения, v — средняя скорость. Пример по умолчанию (A = 0,05 м², v = 3 м/с) даёт Q = 0,15 м³/с = 150 л/с, или 9 м³ в минуту. Для несжимаемого течения по трубе переменного сечения сохранение массы требует A1·v1 = A2·v2: уменьшение сечения вдвое удваивает скорость. Поэтому садовый шланг с пальцем на конце стреляет дальше, а сужение реки на порогах даёт бурный поток. Правило неразрывности локально в любой момент; скорость не «помнит» предыдущих участков. Для сжимаемого течения (газопроводы, реактивные двигатели) правильный инвариант — массовый расход ρA·v, который постоянен, когда жидкость не добавляется и не убирается.
Сопротивление Стокса — ламинарный конец сопротивления жидкости
Для сферы радиуса r, движущейся с малой скоростью в жидкости вязкости μ, сила сопротивления равна Fd = 6πμr·v. Пример по умолчанию (μ = 0,001 Па·с для воды, r = 1 см, v = 0,5 м/с) даёт Fd ≈ 9,42×10−5 Н (около 94 мкН). Зависимость линейна по v, потому что при малом числе Рейнольдса след симметричен и доминирует вязкость; работа, которую сфера совершает против сопротивления, уходит на вязкий нагрев жидкости. Сопротивление Стокса работает только при Re < 1 — для сферы 1 см в воде это скорости ниже примерно 10−4 м/с. При больших скоростях коэффициент сопротивления становится примерно постоянным, и сила растёт пропорционально v², а не v. Сопротивление Стокса определяет оседание пыли в воздухе, плавание бактерий и падение мелких осадков в воде.
Число Рейнольдса — порядок против хаоса
Безразмерное отношение Re = ρvL/μ сравнивает силы инерции с силами вязкости. Пример по умолчанию (вода, v = 1 м/с, L = 0,1 м) даёт Re ≈ 100 000 — глубоко в турбулентном режиме. Эмпирически: Re < ~2000 означает ламинарное течение (гладкое, предсказуемое, с параллельными линиями тока); Re > ~4000 — турбулентное (хаотичное, перемешивающее, с вихрями); узкий промежуток между ними — переходный. Кровоток в аорте (Re ~ 4000) находится на границе; в капиллярах (Re ~ 0,001) он твёрдо ламинарный, и применимо сопротивление Стокса. Воздух над крылом самолёта намеренно делают турбулентным, чтобы отсрочить отрыв потока. Число Рейнольдса — причина того, что у труб есть «критическая скорость», выше которой затраты на перекачку резко возрастают, и почему дым от свечи несколько сантиметров поднимается гладким ламинарным столбом, прежде чем распасться на хаотичные завитки.
Распространённые заблуждения
- Архимедова сила возникает из-за того, что дно выталкивает вверх. Она возникает из интеграла давления по всей смоченной поверхности. Давление внизу выше, но вклады боковых поверхностей тоже ненулевые, и в итоге получается ровно вес вытесненной жидкости — поэтому геометрия сосуда ответ не меняет.
- Крылья самолёта поднимаются, потому что верхняя поверхность длиннее и воздух «должен догнать». Подъёмная сила возникает из перепада давления, создаваемого циркуляцией и формой крыла; равенство времён пролёта — это народный вывод, который случайно даёт верное число по неверной причине. Для крыльев на малых скоростях доминирующий механизм — распределение давления, а не какое-либо «ускорение над верхом».
- Закон Стокса работает на любой скорости. Только при Re < 1. Стальной шарик 1 см, падающий в воде, достигает Re = 1 при нескольких десятых миллиметра в секунду; выше след становится асимметричным, и сопротивление растёт в сторону поведения v². Стокс занижает сопротивление для всего, что похоже на шарик.
- Давление всегда толкает наружу от жидкости. В неподвижной жидкости давление изотропно: оно толкает одинаково во всех направлениях. «Толчок снизу» на погружённую поверхность — просто придонная составляющая того же давления, которое толкает вбок и вверх на каждом квадратном сантиметре.
Связанные инструменты: Механика для силы, работы и энергии, Термодинамика для сжимаемого течения и газовой динамики и Конвертер единиц для перехода между Па, бар, атм и фунт/дюйм².
