Dönme & Tork Hesap Makinesi

Dönme, dönen şeylerin — tekerleklerin, dişlilerin, gezegenlerin, moleküllerin, kasırgaların — kinematiği ve dinamiğidir. Muhasebe doğrusal versiyonla neredeyse satır satır paraleldir: doğrusal yer değiştirme açısal yer değiştirme θ (radyan) olur, doğrusal hız açısal hız ω (rad/s) olur, doğrusal ivme açısal ivme α (rad/s²) olur, kütle atalet momenti I (kg·m²) olur ve kuvvet tork τ (N·m) olur. Newton'un ikinci yasası dönme biçimini τ = I·α olarak alır ve L = I·ω açısal momentumu dış tork yokken korunur, tıpkı doğrusal momentumun dış kuvvet yokken korunması gibi. Bu panelin altı hesap makinesi çalışma formüllerini kapsar: dairesel hareket için merkezcil kuvvet, açısal hız birim dönüşümü, tork, yaygın şekiller için atalet momenti, dönme kinetik enerjisiyle açısal momentum ve dönen çerçevelerde merkezkaç sözde kuvveti.

Dairesel bir yolda hareket eden her cisim yön değiştirir; bu da ivmedir ve ivme, merkeze doğru yönelmiş bir kuvvet gerektirir. Büyüklüğü F = mv²/r = mω²r'dir. Varsayılan örnek (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) F = 50 N ve merkezcil ivme 50 m/s² (≈ 5 g) verir; açısal hız 5 rad/s'dir (≈ 47,75 RPM). Kuvvet gerçektir — bir ipin ucundaki bir top için ip gerilimidir; bir virajdaki araba için lastikler ile yol arasındaki sürtünmedir; yörüngedeki bir uydu için yerçekimidir. Kuvveti kaldırın (ip kopar, lastikler tutunmayı kaybeder), cisim radyal olarak dışarı değil, teğetsel olarak uçar: dönen bir arabada hissettiğiniz dışa doğru itme, eylemsiz çerçevedeki merkezcil kuvvet değil, dönen çerçevedeki merkezkaç sözde kuvvetidir.

Aynı dönen cisim dakikadaki devir (RPM), saniyedeki radyan (rad/s, SI birimi), saniyedeki devir (Hz) ya da saniyedeki derece olarak tanımlanabilir. Varsayılan örnek (1200 RPM) ω ≈ 125,66 rad/s, 7.200 derece/s ya da 20 Hz olur ve devir başına 0,05 s periyot vardır. İlişkiler: ω = 2πf = 2π n/60; burada n RPM'dir; 2π çarpanı devirleri radyana çevirir ve 60 dakikayı saniyeye çevirir. Bu birim dönüşümleri ders kitabı çalışmaları için motorlar ve motorlar için olduğundan daha az önemlidir; çünkü orada RPM gösterge okumasıdır ve tork (N·m cinsinden) çalışan çıktıdır.

Tork, kuvvetin dönme karşılığıdır: τ = r·F·sinθ; burada r kol uzunluğu, F uygulanan kuvvet ve θ ikisi arasındaki açıdır. Varsayılan örnek (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) τ = 15 N·m verir. sinθ çarpanı, kuvvetin 90°'de (kola dik) en etkili olduğu anlamına gelir; kolun doğrultusunda doğrudan itmek (θ = 0 ya da 180°) ne kadar güçlü iterseniz itin sıfır tork üretir. Bu yüzden bir İngiliz anahtarı cıvatayı en kolay, sapa dik iterek çevirir ve aynı uygulanan kuvvette daha uzun bir sap daha fazla tork verir — kapı kolları ve direksiyon simitlerinin çevirdikleri akslardan daha büyük olmasının da nedeni budur.

Atalet momenti, kütlenin dönme karşılığıdır ve kütlenin eksen etrafında nasıl dağıldığına bağlıdır. Kütlesi m ve yarıçapı R olan dolu bir küre için I = (2/5)mR²; merkezi ekseni etrafında dolu bir disk ya da silindir için I = (1/2)mR²; ince bir halka ya da çember için I = mR²; merkezi etrafında düzgün bir çubuk için I = (1/12)mL². Varsayılan örnek (dolu küre, m = 2 kg, R = 1 m) I = 0,8 kg·m² verir. Pratik sonuç, aynı kütle ve yarıçaptaki bir halkanın bir diskten döndürmesinin daha zor olmasıdır (tüm kütle kenarda durur) ve içi boş bir kürenin dolu olandan döndürmesinin daha zor olmasıdır. Kütle eksenden ne kadar uzaksa I o kadar büyüktür — bu yüzden kollarını içeri çeken bir patenci hızlanır: I azalır, ω artar ve L = Iω sabit kalır.

Açısal momentum L = Iω'dır, kg·m²/s cinsinden; dönme kinetik enerjisi KE = ½Iω²'dir. Varsayılan örnek (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) L = 50 kg·m²/s ve KE = 250 J verir. Korunum yasası doğrusal momentumla aynıdır: dış tork yokken L sabit kalır. Dönen bir topaç, dış tork olan sürtünme küçük kaldığı sürece dönmeye devam eder; serbestçe yörüngede dönen bir gezegen, eşit zamanlarda eşit alanları süpürerek açısal momentumu korur (Kepler'in ikinci yasası). Birleşik ifade, jiroskopların eğilmeye neden direnç gösterdiğini açıklar: L'nin yönünü değiştirmek bir tork gerektirir ve hızla dönen bir jiroskopun L'si o kadar büyüktür ki küçük torklar onu zar zor sapmaya uğratır.

Dönen bir çerçevenin içinde, durgun bir cisim, onu daire üzerinde tutmak için ihtiyaç duyacağı merkezcil kuvvete eşit bir hayali dışa doğru kuvvet hisseder. Büyüklüğü F = mω²r'dir, merkezcil formülle aynıdır. Varsayılan örnek (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) F = 150 N dışa doğru, 15 m/s teğetsel hız ve yaklaşık 152,91 g'lik bir g-kuvveti verir. Sözde kuvvet, eylemsiz (dönmeyen) bir çerçevede var değildir; orada ip ya da duvardan gelen içe doğru kuvvet merkezcil kuvvettir ve hiç dışa doğru itme yoktur. Merkezkaç, dikey bir salınım sırasında suyun kovada kalmasını, çamaşır makinesinde kıyafetleri kurutmasını, bir santrifüjde kanın bileşenlerini ayırmasını ve dönen bir uzay istasyonu tasarımında yolcuları dış duvara karşı tutmasını sağlayan şeydir. İki kuvvet tanım gereği büyüklükçe eşit ve yönce zıttır.

• Merkezkaç kuvveti sizi dışarı iten gerçek bir kuvvettir. Yalnızca dönen (eylemsiz olmayan) bir çerçevede görünen hayali bir kuvvettir. Eylemsiz bir çerçevede tek kuvvet içe doğru olan merkezcil kuvvettir — "dışarı" olarak hissettiğiniz şey, içe çekişe karşı direnen eylemsizliğinizdir.
• Açısal momentum bir topacı sonsuza dek döndürür. Açısal momentum yalnızca dış tork yokken korunur. Bir topaç, ucundaki sürtünme bir dış tork olduğu için yavaşlar; sürtünmesiz bir yatak (sert bir vakum, bir süperiletken) bir tekerleği günlerce döndürebilir, ama asla sonsuza dek değil.
• Ağır cisimlerin atalet momenti daha büyüktür. Aynı şekildeki ağır cisimler öyledir; ama aynı kütleye sahip içi boş bir halka ile dolu bir disk çok farklı momentlere sahip olabilir, çünkü önemli olan yalnızca toplam kütle değil, dağılımdır.
• Dairesel hareketteki bir cismin net kuvveti yoktur. Düz bir çizgide sabit hızla hareket ediyorsa net kuvveti sıfırdır. Dairesel bir yol, merkeze doğru sabit bir ivmedir ve sabit bir içe doğru kuvvet gerektirir. Kuvveti kaldırın, cisim daireden çıkar.

İlgili araçlar: altta yatan doğrusal dinamik için Mekanik, girdaplar ve dönen akış için Akışkanlar ve atomlarda görünen kuantum açısal momentum için Modern Fizik.