Dalgalar & Salınımlar Hesap Makinesi

Salınımlar ve dalgalar, farklı kostümler giymiş aynı temel fiziktir. Bir salınım, bir denge konumu etrafında ileri geri hareket eden her şeydir — bir yaya bağlı kütle, bir sarkaç topu, bir kondansatör üzerindeki gerilim, bir gitar telinin yüksekliği, bir ses dalgasının içindeki basınç. Bir dalga yayılan bir salınımdır: aynı ileri geri hareket, ama şimdi uzayın her noktasında biraz farklı bir zamanda gerçekleşiyor, bu yüzden bir anlık görüntü yayılan sinüzoidal bir desen gösterir. İkisi de tek bir diferansiyel denklemle, basit harmonik osilatörle (BHS) x''(t) = -ω²x(t) yönetilir; genel çözümü sinüs x(t) = A cos(ωt + φ)'dir. Oradan: periyot T = 2π/ω, frekans f = ω/(2π), tepe hızı v_max = Aω, tepe ivmesi a_max = Aω². Bu sayfadaki altı panel kanonik durumları kapsar: BHS'nin kendisi, saat olarak sarkaç, ilerleyen dalgalar için dalga denklemi v = fλ, kaynak ya da gözlemci hareket ettiğinde Doppler kayması, bir yaya bağlı kütlenin elektriksel analogu olarak LC rezonansı ve iki yakın tonun girişim yaptığında vuruş frekansı.

BHS, geri çağırıcı kuvvetin (ya da torkun, ya da gerilimin, ya da basınç farkının) denge konumundan yer değiştirmeyle orantılı olduğu her harekettir. Yaya bağlı kütle ders kitabı örneğidir: F = -kx, x'' = -(k/m)x verir, yani ω = √(k/m). Herhangi bir zamandaki konum x(t) = A cos(ωt + φ), hız v(t) = -Aω sin(ωt + φ), ivme a(t) = -Aω² cos(ωt + φ)'dir. Örnekle (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Bir t zamanı da girerseniz, hesap makinesi anlık x(t), v(t), a(t) değerlerini bildirir — 90° faz farklı üç sinüs. BHS atomik kafeslerde (fononları modelleyen yerde), AC devrelerinde (gerilim ve akımın ω = 2πf ile sinüsoidal salındığı yerde) ve denge etrafındaki her küçük titreşimde görünür.

Yerçekimi g altında küçük açılarda (θ < ~15°) sallanan L uzunluklu bir sarkaç, ω = √(g/L) ile BHS denklemini sağlar. Periyot ünlü T = 2π√(L/g)'dir; Galileo ilk kez topun kütlesinden ve ne kadar sallandığınızdan bağımsız olduğunu fark etti. L = 1 m ve g = 9,81 m/s² (Dünya) ile T ≈ 2,006 s'dir, metreye ilk tanımını veren ünlü "saniye sarkacı" (yarım periyot = 1 s). Ay'da g = 1,62 m/s² ile aynı 1 m'lik sarkaç T ≈ 4,94 s alır; Mars'ta (g = 3,72 m/s²) T ≈ 3,26 s. Yaklaşık 15° genliğin üzerinde küçük açı yaklaşımı sapmaya başlar ve bir düzeltme terimi girer; gerçek bir büyükbaba saatinin kısa ve hızlı bir sarkaç yerine uzun ve yavaş (düşük genlikli) bir sarkaç kullanmasının nedeni budur. Topun kütlesi √(g/L)'de sadeleşir: aynı ipte ağır ve hafif toplar özdeş periyotları korur.

Her ilerleyen dalga, ses, ışık, su ya da sismik olsun, aynı temel bağıntıya uyar: v = fλ — dalga hızı frekansla dalga boyunun çarpımına eşittir. Buradaki üç mod, diğer ikisi verildiğinde herhangi bir bilinmeyeni çözer. Örnek (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) v = 343,2 m/s verir — 20°C'de havada ses hızının tam olarak değeri. Üç referans hız büyüklük mertebelerini sabitler: havada ses ~343 m/s, suda ses ~1480 m/s, boşlukta ışık c = 3×10⁸ m/s. Dalgayı bir ortamdan diğerine geçirmek için kırılma için Snell yasasını (optik sayfasında ele alınmıştır) kullanırsınız, ama tek bir homojen ortamın içinde v o ortamın özellikleriyle belirlenir (ses için yoğunluk ve sertlik, ışık için geçirgenlik ve manyetik geçirgenlik).

Doppler etkisi, kaynak ve gözlemci birbirine göre hareket ettiğinde gözlenen frekanstaki değişimdir. Klasik formül f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)'dir; burada pay üstteki işaret gözlemci kaynağa doğru hareket ettiğinde (daha yüksek perde duyar) alınır ve payda alttaki işaret kaynak gözlemciye doğru hareket ettiğinde alınır (yine daha yüksek perde duyar). Örnek (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, kaynak durgun, gözlemci kaynağa doğru 30 m/s ile hareket ediyor): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, +87,46 Hz ya da +%8,75'lik bir kayma. 30 m/s ile durgun bir dinleyiciye doğru hareket eden aynı kaynak aynı cevabı verir (formül simetriktir). Yüksek hızlarda göreli düzeltme önemli hâle gelir; 30 m/s'de bir arabayı ölçen bir radar tabancasında γ çarpanı 1'den yalnızca ~5×10⁻¹⁷ farklıdır, bu yüzden klasik formül ses için yeterlidir, ama ışık göreli versiyon gerektirir.

Bir LC devresi (bir kondansatöre paralel bir bobin L), yaya bağlı kütlenin elektriksel analogudur: yük yer değiştirmenin, akım hızın, indüktans L kütlenin ve 1/C yay sertliğinin rolünü oynar. Yük ω = 1/√(LC)'de, eşdeğer olarak f = 1/(2π√(LC))'de salınır. Örnek (L = 100 mH, C = 10 μF) LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷ verir, yani f ≈ 159,15 Hz ile açısal frekans ω ≈ 1000 rad/s ve periyot T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Gerçek LC devrelerinin de direnci vardır, bu da salınımın sönmesine neden olur — AM radyo ayarlayıcısının bir istasyonu temiz biçimde seçmek için en aza indirdiği şey bu sönüm oranıdır. Tam olarak f'de sürülen bir kaynak eklemek devreyi rezonansa zorlar, rezonans dışındakinden çok daha büyük gerilim ve akım genlikleriyle.

Biraz farklı frekanslı iki ton birlikte çaldığında hava basıncı iki sinüsün toplamıdır — trigonometri ile bu, ortalama frekans f_p = (f₁ + f₂)/2'de bir kosinüsün, f_vuruş = |f₁ − f₂|'de yavaş bir zarfla modüle edilmesine eşittir. Kulak ortalama perdenin vuruş hızında artıp azaldığını duyar. Örnek (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) f_vuruş = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, vuruş periyodu = 0,2 s verir — saniyede 5 kez açıkça duyulabilir bir nabız. Yaklaşık 10 Hz'in altında vuruşlar ayrı nabızlar olarak duyulur; yaklaşık 30 Hz'in üzerinde pürüzlülük ya da tremolo hâlinde birleşirler. Piyano akortçuları bundan yararlanır: referans bir perdeyi ve ayarlanan teli çalarlar, vuruşları dinlerler ve vuruşlar kaybolana kadar ayar yaparlar. Teller mükemmel akortlandığında f_vuruş = 0 olur ve hesap makinesi "Özdeş frekanslar — vuruş yok" bildirir.

• Periyot ve frekans aynı şey değildir. T (döngü başına saniye) ve f (saniye başına döngü) çarpmaya göre terslerdir. T = 1/f. 0,5 Hz'lik bir salınımın bir döngüyü tamamlaması 2 saniye sürer.
• Sarkaç periyodu genliğe yalnızca zayıf bağlıdır. Sonlu θ₀ genliği için tam periyot T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…)'dir. 15° için bu %0,7'lik bir düzeltmedir, 30° için yaklaşık %1,7 — giriş problemlerinde genellikle yok sayılır.
• Doppler kayması kaynak ya da gözlemci hareket ettiğinde aynıdır. Kaynak durgun bir gözlemciye doğru hareket etsin ya da gözlemci aynı hızla durgun bir kaynağa doğru hareket etsin, perde kayması aynıdır (göreli olmayan olarak).
• Rezonans maksimum genlik ile aynı değildir. Rezonans, ω_sürüş = ω_doğal koşuludur. Sönümlemeyle tepe genlik sönümsüz değerin altındadır; sönümleme olmadığında genlik sınırsız büyür (yalnızca doğrusal olmamayla sınırlı).

İlgili araçlar: de Broglie dalgaları ve dalga-parçacık ikiliği için Modern Fizik, LC rezonansının yer aldığı AC analizi için Elektrik & Devreler ve elektromanyetik dalgalar için Optik & Işık.