Astrofizik Hesap Makinesi

Astrofizik, bir aydan bir galaksiye kadar her şeyin işletim dili olarak yerçekimi ve hareketi kullanan fizik dalıdır. Bu panelde altı hesap makinesi, herhangi bir cisim ya da yörünge hakkında sorabileceğiniz altı tekrarlayan soruyu yanıtlar: bir sistemden kaçmak için bir şeyi ne hızla fırlatmalıyım? Onun çevresinde dönmek için ne hızla? Bir yörünge ne kadar sürer? Aynı kütle bir kara delik olmak için ne kadar küçük çökmeli? Bir roket yakıt oranı başına ne kadar delta-v kazanır? Ve ışığı kırmızıya kayan bir galaksi ne kadar uzaktadır? Geri kalan her şey — Dünya'nın yörünge tabanına karşı paralaksla ölçülen mesafeler (1 astronomik birim = 1,496×10¹¹ m), parlaklığın logaritmik sıralaması olarak büyüklükler, düşük hızlı Hubble yasasının versiyonu olarak kırmızıya kayma z ≈ v/c — aynı Newtoncu ve göreli iskelete dayanır.

Kütlesi M ve yarıçapı R olan her cisim, birim kütle başına GM/R derinliğinde bir potansiyel enerji kuyusu oluşturur. Yüzeyden tırmanmak için bu derinliğe en az eşit kinetik enerji gerekir; bu da kaçış hızını verir. Dünya'yı yerine koyun: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — panel v_e ≈ 11.186 m/s (11,19 km/s, yaklaşık Mach 33) döndürür. Mars ≈ 5,03 km/s, Ay 2,38 km/s, Jüpiter 60 km/s (hidrojen burada kötü bir roket yakıtıdır ama matematik aynıdır) ve Güneş 618 km/s. Not: formül atmosferik sürtünme olmadığını ve başka bir itki olmadığını varsayar; herhangi bir roketin gerçek sayısı aerodinamik kayıpları, tırmanış sırasındaki yerçekimi sürüklenmesini ve yönlendirme kayıplarını içerir. Bu aynı zamanda yüzeyde durgunluk hâlinden hızdır; zaten yörüngede olan bir cisim, irtifasından kaçmak için tam yüzey değerini değil, daha küçük bir Δv'ye ihtiyaç duyar. Aynı ölçekleme yüzey ağırlığını da belirler: Mars'ta (g = 3,71 m/s²) 70 kg'lık bir astronot 260 N ağırlığındadır — kütle değişmez, ağırlık yerel yerçekimini izler.

Kararlı bir dairesel yörünge, merkezcil ivmeyi yerçekimiyle dengeler: v_o = √(GM/r). Panelin varsayılan Dünya ön ayarı, r = 7×10⁶ m'de (yaklaşık 629 km irtifa — ISS bölgesi) v_o ≈ 7.546 m/s ve 5.829 s (~1,62 saat) periyot verir. Gerçek ISS yaklaşık 408 km'de durur ve ~92,7 dakikada döner; paneldeki irtifa örnek bir sayıdır, bir uçuş programı değildir. İlişki ayrıca kaçışı da verir — aynı irtifada v_e elde etmek için v_o'yu √2 ile çarpın. Yörünge hızı yörüngedeki kütleden bağımsızdır; aynı yörüngedeki bir tüy ve bir savaş gemisi aynı hızda hareket eder (boşlukta), bu yüzden yörünge mekaniği uyduları nokta parçacıklar olarak ele alır.

T² = (4π²/GM) · a³, yörünge periyodunu yarı büyük eksene bağlar. Panelin Güneş-Dünya varsayılanı (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = tanım gereği 1 AU) T ≈ 365,21 gün verir — yılımızın tam uzunluğu. Tersini çözmek — saniye cinsinden bir periyot verildiğinde a'yı hesaplamak — astronomların periyodunu zamanlayabildikleri herhangi bir uydunun yarı büyük eksenini ölçme yoludur. Aynı 1 AU'luk taban parsek tanımının da temelidir: Dünya 2 AU'yu süpürürken arka plana karşı 1 yay saniyesi paralaks kayması gösteren bir yıldız tam olarak 1 parsek = 3,26 ışık yılı uzaklıktadır — ve 1 parsek = 206.265 AU. Kilometreler ve ışık yılları yıldızlararası ölçeklerde yönetilemez hâle gelir; parsek ve AU çalışma birimleridir.

Bir M kütlesini Schwarzschild yarıçapı R_s = 2GM/c²'nin altına sıkıştırırsanız, içeriden hiçbir sinyal dışarı tırmanamaz: dönmeyen bir kara deliğin ufkudur. Sayılar sıradan kütleler için şaşırtıcı derecede küçüktür: Dünya'nın R_s'si yaklaşık 8,87 mm — bir bilyeden küçük; Güneş'inki yaklaşık 2,95 km. Her ikisini de çökertmek bilinen hiçbir madde hâlinin sağlayamayacağı yoğunluklar gerektirir. Gerçek kara delikler yıldız ölümünde oluşur; 5 M_⊙'lik bir kalıntı için 14,76 km (panelin "küçük KD" ön ayarı) Cygnus X-1 sınıfı nesneler için doğru mertebedir; galaksimizin merkezindeki Sagittarius A* gibi 4×10⁶ M_⊙'lik bir süperkütleli kara delik ise R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m'dir (Merkür yörüngesinin yaklaşık %17'si). Schwarzschild yarıçapı genel görelilik'in bir koordinat tahminidir; dönen (Kerr) bir kara deliğin gerçek ufku farklıdır ve daha küçük olabilir.

Geriye doğru v_e hızında egzoz atan ve kütle oranı m₀/m_f olan bir roket için momentum korunumu Δv = v_e · ln(m₀/m_f) verir. Panelin yüklenebilir örneği (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500.000 kg, m_f = 50.000 kg), 10'luk bir kütle oranı ve %90 yakıt oranı için Δv ≈ 6.907,76 m/s verir. Denklem acımasızca logaritmiktir: yakıtı iki katına çıkarmak Δv'ye v_e·ln(2) ekler, asla iki katına çıkarmaz. Alçak Dünya yörüngesi toplamda yaklaşık 9,4 km/s Δv gerektirir; jeostasyonel transfer yörüngesi yaklaşık 11,5 km/s; ay transferi yaklaşık 12,5 km/s — roketlerin neden kademelendiğinin, üst kademelerin neden fırlatma kütlesinin küçük bir kesri olduğunun ve tek kademeli yörüngeye çıkışın neden inatla zor kaldığının nedeni budur.

Edwin Hubble'ın 1929 gözleminde galaksilerin hızla mesafeyle orantılı biçimde uzaklaştığı görülmüştür: d = v/H₀. Panelin H₀ = 70 km/s/Mpc değeriyle, v = 1.000 km/s hızında bir galaksi d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ ışık yılı uzaklıktadır. Yakın galaksiler için uzaklaşma hızı c'nin küçük bir kesridir, bu yüzden z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; doğrusal Hubble yasası o zaman genişleyen bir evrendeki kozmolojik uzaklaşmanın özel bir durumudur. Bağıntı, tam kozmolojik modelin devreye girdiği yüksek kırmızıya kaymada (z > 0,1) bozulur; bu yüzden bilgi kutusu formülün "görece yakın" galaksiler için olduğunu uyarır — aynı uyarı v_e ya da v_o'yu ışık hızına yakın kullanmak için de geçerlidir (göreli düzeltmeler önemlidir). Hubble mesafe merdiveni — paralakstan Sefeid değişenlerine, Tip Ia süpernovalara ve Hubble akışına — H₀'ın kendisini kalibre eden şeydir ve yerel ile KMB'den çıkarılan değerler arasındaki güncel H₀ gerilimi kozmolojinin açık sorunlarından biri olmaya devam eder.

• Kaçış hızı, yerden bir fırlatma hızıdır. Verilen yarıçapta, ek itki olmadan durgunluktan elde edilen hızdır; saatlerce sabit düşük itkiyle tırmanan bir roketin herhangi bir anda v_e'ye ulaşması gerekmez.
• Kara delikler şeyleri vakum gibi içine çeker. Ufuk yarıçapı, "çekilen" nesneyle değil merkezi kütleyle belirlenir. r » R_s olduğunda yerçekimi yalnızca Newton'dur; ancak ufka çok yakınken kaçılmaz hâle gelir. Güneş, aynı kütleye sahip bir kara delik olsaydı bile Dünya'nın yörüngesini hiç değiştirmezdi.
• Daha fazla yakıt, orantılı olarak daha fazla Δv demektir. Tsiolkovsky logaritmiktir: yakıtı iki katına çıkarmak v_e·ln(2) ekler, delta-v'yi iki katına çıkarmaz. Roket mühendisliğinde en önemli tek sayı budur.
• Paralaks yıldız boyutlarını ölçer. Paralaks mesafeyi ölçer; ölçmenin yolu, ölçümcülerin kullandığı aynı geometrik üçgenlemedir — taban uzunluğu büyüdükçe menzil de uzar. Dünya'nın yıllık yörüngesinden gelen 2 AU'luk taban, parsek'i doğal bir birim yapar.

İlgili araçlar: temel kinematik için Mekanik, yüksek hızda göreli etkiler için Modern Fizik ve yukarıdaki formülleri çalıştıran cebirsel makine için Hesap Makinesi.