Her ölçüm dürüst bir eşlikçiye sahip bir sayıdır: ne kadar emin olabiliriz? Bu eşlikçinin iki parçası vardır — rastgele hata, ölçümü tekrarlamanın ortalamayla küçülttüğü; ve sistematik hata, kaç kez ölçerseniz ölçün devam eden bir sapma. Herhangi bir niceliğin dürüst raporu bu nedenle x ± u(x)'dir; burada u iyi tanımlanmış bir belirsizliktir; ± sembolü "bu kadar olasılıkla yaklaşık bu aralık" için kısaltmadır. Bu panelin dört hesap makinesi çalışma araçlarını kapsar: anlamlı basamakları saymak (muhasebe kısayolu), belirsizlikleri toplam, fark, çarpım, bölüm ve kuvvetler boyunca yaymak (hataların matematiği), standart sapma (verinin ne kadar yayıldığı) ve birden fazla bağımsız bileşenin GUM tarzı birleşik belirsizliği.
İki tür hata, iki zıt davranış: rastgele hata N'nin karekökü ile küçülür (σ/√N), bu yüzden ortalama almak her zaman kazanır; sistematik hata hiç küçülmez, bu yüzden tekrardan çok kalibrasyon önemlidir. Bir ölçümün σ'sı çok küçük olabilir ve yine de sapma nedeniyle yanlış olabilir.
Anlamlı basamaklar — muhasebe kısayolu
Anlamlı basamak, güvenle bilinen bir basamaktır; bir sayıyı bir boyut kuralına doldurmak için kullanılan sıfırlar değildir. Beş kural: (1) sıfır olmayan tüm basamaklar anlamlıdır, (2) sıfır olmayanlar arasındaki sıfırlar anlamlıdır, (3) baştaki sıfırlar anlamlı değildir (yalnızca ondalık noktayı yerleştirirler), (4) ondalık noktadan sonraki sondaki sıfırlar anlamlıdır, (5) ondalık noktası olmayan sondaki sıfırlar belirsizdir (bilimsel gösterim kullanın). Varsayılan değer 0,0070800 bu yüzden 5 anlamlı basamağa sahiptir (7, 0, 8, 0, 0) ve (7,0800 ± 0,00005)×10−3 olarak okunur. 0,0070800 bildirmek, 7,0800×10−3 bildirmekle aynı kesinliği ima eder; 0,00708 bildirmek binde bir kesinlik ima eder. Kısayol ders kitabı raporları için çalışır; gerçek bir ölçüm için dürüst sayı belirsizlik u'dur ve anlamlı basamaklar, her seferinde ± yazmadan bunu ifade etmenin uygun bir yoludur.
Hata yayılımı — hataların matematiği
z = f(x, y) için bağımsız belirsizlikleri birleştirme kuralı σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy²'dir. Dört çalışma işlemi için bu şuna indirgenir: toplama/çıkarma mutlak hataları kareköklü toplamla toplar σz = √(σx² + σy²); çarpma/bölme bağıl hataları kareköklü toplamla toplar σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); kuvvet xn bağıl hatayı |n| ile ölçekler: σz/z = |n|σx/x. Varsayılan örnek (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, toplama) z = 15 ve σz ≈ 0,36, yani 15,00 ± 0,36 (yaklaşık %2,4 bağıl) verir. Aynı girdilerle çarpmaya geçmek z = 50 ± 2,5 (%5 bağıl) verir — aynı ± değerleri, çok farklı yayılım kuralı; çarpımın bağıl belirsizliği, bağıl belirsizliklerin kareköklü toplamına eşittir. Mutlak belirsizlikler toplamalar/farklar için doğru para birimidir; bağıl belirsizlikler çarpımlar/bölümler için doğru para birimidir.
Standart sapma — verinin yayılımı
Standart sapma σ, ortalamadan kareköklü ortalama kare sapmadır. Verinin neyi temsil ettiğine bağlı olarak iki sürüm vardır: anakütle σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) bilinen bir kümedeki her üyenin yayılımını tanımlar; örneklem s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) örneklemin çekildiği daha büyük anakütlenin yayılımını tahmin eder. Varsayılan örnek (ortalaması 12,5 olan 12,2 ile 12,8 arası 10 değer) anakütle σ ≈ 0,1732, örneklem s ≈ 0,1826 ve SEM = s/√N ≈ 0,0577 verir. Ortalamanın belirsizliği kendisi σ/√N'dir (ya da örneklem sürümü için s/√N), bu yüzden tek bir niceliğin 25 ölçümünün ortalamasını almak belirsizliği tek bir ölçüme göre 5 kat azaltır. Standart sapma güven aralıklarını da besler: normal bir dağılım için ±1σ %68,3'ü, ±2σ %95,5'i, ±3σ %99,7'yi içerir.
Genişletilmiş belirsizlik — tüm kaynakların birleştirilmesi
Bir ölçümün birden fazla bağımsız hata kaynağı olduğunda (alet çözünürlüğü, kalibrasyon, tekrarlanabilirlik, sıcaklık kayması, operatör etkisi), GUM tarzı birleşik belirsizlik uc = √(Σui²)'dir. Kaynaklar Tip A (istatistiksel, veriden) ve Tip B (diğer her şey, belirsizlikleri yargıyla ya da üretici şartnamesiyle tahmin edilen) olarak sınıflandırılır; ikisi de uc'ye aynı şekilde katkıda bulunur. Bir kapsama faktörü k, aralığı seçilen güvene ölçekler: %68,3 için k = 1, %95,5 için k = 2, %99,0 için k = 2,58, %99,7 için k = 3. Varsayılan örnek (0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm kaynaklar, k = 2) uc ≈ 0,1797 mm ve %95,5'te U = k·uc ≈ 0,3595 mm verir. Bildirilen değer bu güvenle (ölçüm ± 0,36) mm olur. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) prosedür için uluslararası standarttır. Tip A bileşenleri tekrarlanan okumaların istatistiğinden, Tip B ise alet şartnamelerinden ve yargıdan gelir — ikisi de aynı kareköklü toplamla birleşir.
Yaygın yanlış anlamalar
- Daha fazla anlamlı basamak daha doğru bir ölçüm demektir. Yalnızca bu basamaklar gerçekten ölçümden geldiyse. El ile yazılmış "12,34567 m" uzunluğu 10 milyonda 1 doğruluğunda değildir — anlamlı basamaklar kesinliği iletmenin bir yoludur, onu icat etmenin değil. ± bildirmek, uydurma basamaklarla doldurmaktan daha dürüsttür.
- Sistematik hata ortalama alarak azaltılabilir. Tersi: rastgele hatalar 1/√N olarak ortalama alınarak küçülür, ama sistematik bir sapma (yanlış kalibre edilmiş bir terazi, merkezden kaymış bir sıfır) kaç ölçüm alırsanız alın yerinde durur. Sapmayı belirleyin ve ortalama almayın. Bu, bozuk bir deneyde "veriler çok tekrarlanabilir görünüyor!" tuzağıdır.
- Standart sapma tek bir ölçümün hatası hakkında bilgi verir. Dağılımın yayılımını karakterize eder, herhangi tek bir denemenin hatasını değil. Ortalamanın standart hatası (s/√N), N'lik bir örneklemden x̄'yı ne kadar iyi bildiğinizi bildirirken ilgili niceliktir.
- Belirsizlik her zaman son basamakta ±'dir. Standart kural "belirsizliği bir (bazen iki) anlamlı basamağa yuvarla, sonra değeri buna uyacak şekilde yuvarla"dır. 12,345678 ± 0,234 ölçümü, 12,345678 ± 0,234 değil, 12,35 ± 0,23 olarak bildirilmelidir.
İlgili araçlar: altta yatan olasılık dağılımları için İstatistik, sayıları üreten deneysel kurulumlar için Mekanik ve yayılımın cebiri için Hesap Makinesi.
