Simülasyonlar görünür kılınmış denklemlerdir: aynı cebir, aynı sabitler, aynı sınır koşulları — parametreleri değiştirmenize ve sonucun değişimini izlemenize olanak tanıyan bir animasyon olarak sunulmuş. Sezgi kurmak için kullanın: fırlatma açısını değiştirin ve menzilin 45°'de zirve yapışını izleyin, yük işaretini değiştirin ve alan çizgilerinin tersine dönüşünü izleyin, dalga boyunu değiştirin ve girişim desenin küçülüşünü ya da yayılışını izleyin.
Atış hareketi — klasik parabol
Başlangıç hızı v0 ile θ açısında, h0 yüksekliğinden fırlatılan bir top şu parametrik denklemleri izler: x(t) = v0 cosθ · t ve y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t². Tuval, top uçarken yörüngeyi izler ve son menzili, uçuş süresini ve maksimum yüksekliği bildirir. Varsayılan örnek (v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, Dünya g = 9,81 m/s²) uçuş süresi ≈ 3,604 s, menzil ≈ 63,70 m ve maksimum yükseklik ≈ 15,929 m verir. Ay ön ayarına (g = 1,62) geçin ve aynı fırlatma ≈ 21,82 s'de ≈ 385,8 m'ye ulaşır — aynı parabol, altı kat daha uzun ve daha uzağa; ay sporlarını bu kadar saçma kılan şey ve astronot Alan Shepard'ın kendi yapımı altı demirinde kullandığı şey tam budur. Tuval yolu yeniden çizer; topun konumunu izleyen kırmızı bir nokta ve menzili ve maksimum yüksekliği doğrudan diyagramda etiketler.
Sarkaç — basit harmonik ve kaotik
Uzunluğu L olan bir basit sarkaç, θ açısından bırakıldığında θ″(t) = −(g/L) sinθ denklemine uyar; burada yarı-örtük Euler yöntemiyle integre edilir. Küçük genlikler için (sinθ ≈ θ) hareket T = 2π√(L/g) periyotlu basit harmoniktir; Dünya'da varsayılan L = 1,5 m T ≈ 2,458 s verir. Daha büyük genliklerde sinθ artık iyi bir doğrusal yaklaşım olmadığı için periyot biraz artar — 60°'lik bir salınım, aynı uzunluktaki 5°'lik bir salınımdan yaklaşık %7 daha yavaştır. Çift sarkaç farklı bir canavardır: eklemlerinde kütleleri olan iki rijit bağlantı, bağlaşık doğrusal olmayan denklemlerle yönetilir, aynı şekilde integre edilir ama kaos sergiler. Başlangıç açısındaki küçük farklar birkaç döngü içinde çok farklı yörüngelere yol açar — deterministik kaosun imzası, bu yüzden çift sarkaçlar kaotik bir mekanik sistemin ders kitabı örneğidir. Açılır listede "Basit"ten "Çift"e geçin, ikinci çubuk belirir ve başlangıç açısı θ2'yi alır; Başlat'a basın ve salınım desenin öngörülemez biçimde ayrışışını izleyin. Tek sarkaç simülasyonu ayrıca her kareyi sönümler (faktör 0,9995), tıpkı gerçek bir sarkacın hava sürtünmesi ve mafsal sürtünmesiyle enerji kaybetmesi gibi.
Dalga girişimi — iki kaynaklı süperpozisyon
Aynı λ dalga boyunda iki nokta kaynak dairesel dalgalar yayar; düzlemdeki her noktada ortaya çıkan bozulma ikisinin toplamıdır. İki tepenin fazda geldiği yerde genlik iki katına çıkar (yapıcı girişim); birinden gelen bir tepenin diğerinden gelen bir çukurla buluştuğu yerde iptal olurlar (yıkıcı girişim). Yapıcı girişim koşulu tam sayı m için r1 − r2 = mλ'dir; yıkıcı için r1 − r2 = (m + ½)λ'dir. Tuval bir yoğunluk haritası çizer (parlak = yüksek genlik, koyu = iptal) ve r1 − r2 = mλ olan düğüm çizgilerini bindirir (kesikli çizgi seçeneğiyle). Varsayılan ayırma (120 px = 3λ) dik ortay boyunca açıkça değişen parlak ve koyu bantlar gösterir — Thomas Young'ın çift yarık deneyindeki parlak ve koyu saçakları oluşturan ve bir yağ filminden yansıyan ışığın renkli bantlarını üreten aynı desen.
Elektrik alan çizgileri — yoğunluk gücü kodlar
Bir nokta Q yükünün etrafındaki elektrik alanı, büyüklüğü E = kQ/r² olan radyal bir vektördür; iki yük için herhangi bir noktadaki alan vektör toplamıdır Etoplam = E1 + E2. Tuval, yerel alan yönünde 4 px boyutunda bir Euler adımı kullanarak kaynak bölgesinden 16 alan çizgisi izler. Çizgiler pozitif yüklerden (Q > 0) çıkar ve negatiflere (Q < 0) sonlanır; varsayılan örnekte (Q1 = +5, Q2 = −3, |Q1·Q2| = 15), desen soldaki kırmızı + yükten dışa doğru eğilerek çıkan çizgileri gösterir ve çoğu sağdaki mavi − yükte sonlanır, birkaçı sonsuza kaçar (büyüklükler eşit olmadığı için). Alan çizgisi yoğunluğu alan gücüyle orantılıdır: sıkı paketlenmiş çizgiler güçlü bir alanı, seyrek çizgiler zayıf bir alanı gösterir. İki işareti de tersine çevirmek geometriyi değiştirmeden çizgi yönlerini tersine çevirir.
Kuvvet bileşimi — çokgen yöntemi
Bir cisme birden fazla kuvvet etkidiğinde bileşke, skaler toplamları değil vektör toplamıdır. Çokgen (ya da baştan kuyruğa) yöntemi her kuvvet vektörünü başlangıçtan itibaren uç uca yerleştirir; bileşke R, başlangıçtan son uca olan vektördür. Bileşen bazında: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²) ve θR = arctan(Ry/Rx). Tuval her kuvveti başlangıçtan renkli bir ok olarak çizer (F1 kırmızı, F2 mavi, F3 yeşil), sonra başlangıçtan son uca bileşkeyi gösteren kesikli bir mor çizgi ve baştan kuyruğa yolu izleyen açık gri çokgen çizgileri. Varsayılan örnek (F1 = 30 N, 0°'de; F2 = 25 N, 60°'de; F3 = 15 N, 150°'de) Rx ≈ 29,51 N, Ry ≈ 29,15 N, |R| ≈ 41,48 N ve θR ≈ 44,65° verir — yönler kısmen birbirini güçlendirdiği için tek bir girdi kuvvetinden daha büyük bir büyüklük.
Yaygın yanlış anlamalar
- Tuval gerçek fiziği gösterir, bir taslak değil. Her kare temel denklemden hesaplanır (sarkaçlar için Euler integrasyonu, dalgalar için süperpozisyon, kuvvetler için vektör toplamı). Girdileri değiştirirseniz matematiği değiştirirsiniz; animasyon doğrudan sayısal bir görselleştirmedir.
- Bir sarkacın periyodu genliğine bağlıdır. Küçük genlikler için (yaklaşık 15°'den az), periyot neredeyse genlikten bağımsızdır ve T = 2π√(L/g)'ye eşittir. Daha büyük genliklerde periyot belirgin biçimde artar — 90°'lik bir salınım, küçük açı formülünün öngördüğünden yaklaşık %18 daha uzun sürer. Büyükbaba saatinin "saniye sarkacı", periyodunu kayasız sabit tutmak için tam da küçük bir salınım için tasarlanmıştır.
- Elektrik alan çizgileri gerçektir. Alanın bir görselleştirmesidir, fiziksel iplikler değildir. Gerçek elektrik alanı uzayda her noktada bir vektördür; çizgiler yalnızca alanın sürekli bir biçimde teğet olduğu noktaları birleştirir. Bir alan çizgisini "tutamazsınız".
- Çokgen ve paralelkenar yöntemleri farklı cevaplar vermez. Aynı bileşkeyi verirler. Paralelkenar yöntemi iki kuvvet için çalışır; çokgen yöntemi doğal olarak herhangi bir sayıya genişler. İkisi de vektör toplamasının eşdeğer uygulamalarıdır.
İlgili araçlar: sayısal kinematik formüller için Mekanik, bileşen ayrışımı ve nokta/çapraz çarpım için Vektör Hesap Makinesi, tam ilerleyen dalga denklemleri için Dalgalar & Salınımlar, akım/gerilim karşılıkları için Elektrik & Devreler ve dalga girişiminin optik versiyonu (Young'ın çift yarığı) için Optik & Işık.
