Vektör Hesap Makinesi

Gerçek zamanlı Tuval ok görselleştirmeli 2B ve 3B vektör işlemleri. Nokta çarpımı, çapraz çarpım, açı, büyüklük, birim vektör ve vektör toplama/ayrışımını hesaplayın. Ayrıca: Mekanik | Devreler | Termodinamik.
İşlemi seçin:
x y
x y
Vektör İşlemleri: Nokta çarpımı: A·B = AxBx + AyBy (3B için + AzBz). Çapraz çarpım (3B): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Açı: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). İzdüşüm: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Birim vektör: u = A/|A|. Büyüklük: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Vektörler nedir?

Bir vektör, hem büyüklüğü hem yönü olan bir niceliktir: kuvvet, hız, ivme, momentum, elektrik ve manyetik alanlar, açısal momentum. Buna karşılık bir skaler yalnızca bir sayıdır: kütle, zaman, enerji, sıcaklık. Geometrik olarak bir vektör, uzunluğu büyüklük, açısı yönü veren bir ok olarak çizilir; cebirsel olarak bileşenlerin sıralı bir listesidir, düzlemde iki, uzayda üç. Vektörlerle yaptığınız hemen her şeyi altı işlem kapsar: büyüklük |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), toplama bileşen bileşen, nokta çarpımı A·B = ΣAiBi, çapraz çarpım A×B (yalnızca 3B), açı cosθ = A·B/(|A||B|)'den ve birim vektör / izdüşüm. Panel altının tümünü 2B ve 3B'de görselleştirme için anlık bir Tuval çizimiyle uygular — iki oku ve toplamını ya da çarpımını görmek, soyut manipülasyon ile fiziksel sezgi arasındaki farktır.

Üç çarpım ihtiyacınız olan her şeyi yapar: nokta çarpımı (hizalanmayı ölçen bir skaler, A·B = |A||B|cosθ), çapraz çarpım (ikisine de dik bir vektör, büyüklüğü |A||B|sinθ) ve izdüşüm operatörü (A'nın seçilen bir yöndeki bileşeni). Birden fazla vektör içeren her fizik formülünün muhasebesidir.
Büyüklük ve 2B kanonik örnek

3-4-5 dik üçgen, 2B vektörler için kanonik örnektir. A = (3, 4) alalım. Büyüklüğü |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. +x ekseninden yönü arctan(4/3) ≈ 53,13°'dir. Herhangi bir 2B vektör, o yöne işaret eden bir birim vektörle çarpılmış bir büyüklük olarak yazılabilir: A = 5·(0,6, 0,8). Ayrışım paneli bir büyüklük ve θ ve φ açılarını alır ve ya küresel bir kuralla (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) ya da düzlemsel olarak (φ yok sayılır, x = r cosθ, y = r sinθ) x, y, z bileşenlerini döndürür. r = 10, 2B modunda θ = 36,87° için (8, 6, 0) döndürür — orijinal 3-4-5'ten ölçeklenmiş 6-8-10 dik üçgeni. Bu tam sayılı üçgenleri tanımak, trigonometriye başvurmadan hangi bileşenlerin dik olduğunu görmenin kısayoludur.

Nokta çarpımı — hizalanmanın skaler ölçüsü

İki A ve B vektörü için nokta çarpımı A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz), |A||B|cosθ'ya eşit bir skalerdir — yani büyüklüklerin aralarındaki açının kosinüsü ile çarpımı. Varsayılan 2B örnek (A = (3, 4), B = (5, 2)) A·B = 15 + 8 = 23, büyüklükler |A| = 5 ve |B| = √29 ≈ 5,385 ve açı cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, yani θ ≈ 31,33° verir. Tüm yorumu taşıyan üç işaret sonucu vardır: cosθ > 0 açının dar olduğu ve vektörlerin genel olarak aynı yöne baktığı anlamına gelir; cosθ < 0 geniş ve vektörlerin karşıt olduğu anlamına gelir; cosθ = 0 dik olduğu anlamına gelir. Nokta çarpımı, bir F kuvvetinin bir d yer değiştirmesi boyunca yaptığı iştir (W = F·d) ve kosinüs, açılı itmenin hareket çizgisi boyunca itmekten neden daha az etkili olduğunun nedenidir.

Çapraz çarpım — ikisine de dik vektör

Çapraz çarpım yalnızca 3B'de tanımlı bir işlemdir; sonucu iki girdiye de dik bir vektördür, büyüklüğü |A||B|sinθ ve yönü sağ el kuralıyla belirlenir (işaret parmağını A boyunca, orta parmağı B boyunca tutun, başparmak A×B'yi verir). Bileşenlerde, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Varsayılan 3B örnek (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13) verir. Çapraz çarpım anti-simetriktir: B×A = −A×B, yani girdileri değiştirmek işareti çevirir. Üç fizik görünümü: tork τ = r×F (dönme kuvveti), açısal momentum L = r×p (yörünge açısal momentumu) ve manyetik kuvvet F = qv×B hareket eden bir yük üzerinde. |A×B| büyüklüğü, iki vektörün gerdiği paralelkenarın alanına eşittir; bu yüzden çapraz çarpım sonuçları her zaman alanı ya da dönmeyi tanımlar. Tork, çapraz çarpımın iş başındaki hâlidir: τ = r×F'nin büyüklüğü |r||F|sinθ'dir, yani mafsaldan itmek sıfır verir ve daha uzun bir anahtar daha fazla verir.

Vektörler arasındaki açı

Nokta çarpımı ve büyüklükler elinizdeyken açı tek bir ark-kosinüstür: cosθ = A·B/(|A||B|), θ [0, π] aralığında. Büyüklüklere göre küçük bir nokta çarpımı neredeyse dik vektörler demektir; |A||B|'ye eşit bir nokta çarpımı vektörlerin aynı yöne baktığı anlamına gelir (θ = 0); −|A||B|'ye eşit bir nokta çarpımı zıt olduğu anlamına gelir (θ = π). Formül 2B ve 3B'de aynıdır — yalnızca bileşen toplamlarının boyutu farklıdır. Geometrik olarak nokta çarpımı, A'yı B üzerine (ya da B'yi A üzerine) izdüşüm, sonra diğerinin büyüklüğüyle çarpma olarak görülebilir; bu yüzden kosinüs kelimenin tam anlamıyla izdüşüm oranıdır.

Birim vektör ve izdüşüm

Birim vektör, büyüklüğü 1 olan ve orijinal ile aynı yöne işaret eden bir vektördür: u = A / |A|. Birim vektörler "saf yönü" nasıl tanımlayacağınızdır; kartezyen koordinatların i, j, k temel vektörleri kanonik örneklerdir ve 3B'deki herhangi bir yön onların doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilir. A'nın B üzerine izdüşümü (ya da A'nın B boyunca bileşeni) projBA = (A·B / |B|²) · B'dir — A'nın B boyunca uzanan kısmı. Skaler sürüm (A·B/|B|) bu izdüşümün işaretli uzunluğudur. Nokta çarpımını iş formülü yapan budur: kuvvet boyunca yer değiştirme bileşeni çarpı kuvvet büyüklüğü, yapılan iştir.

Yanılgılar
  • Nokta çarpımı vektörlerin çarpımıdır. Skaler çarpımdır — bir vektör değil, bir sayı üretir. Benzer şekilde çapraz çarpım vektörel çarpımdır. Bunlara "çarpma" demek, tamamen farklı çıktılara sahip olduklarını gizler.
  • Çapraz çarpım bir skalerdir. 2B'de dik bileşene bazen skaler denir (determinant axby − aybx), ama 3B'de çapraz çarpım gerçekten bir vektördür. Büyüklüğü ve yönü fiziksel olarak anlamlıdır.
  • Çapraz çarpım değişmelidir. Anti-değişmelidir: A×B = −B×A. Sıra önemlidir — tork r×F, F×r'nin tersi yönündedir.
  • Bir vektörün sabit bir konumu vardır. Vektörler serbesttir — değiştirmeden sayfa üzerinde kaydırabilirsiniz. Sabit olan büyüklükleri ve yönleridir; fizikteki yalnızca belirli vektörler (konum vektörleri, bir noktadaki elektrik alan) bir konuma bağlıdır.

İlgili araçlar: bağlamda tork, iş ve açısal momentum için Mekanik, çapraz çarpımın açısal momentumu nasıl oluşturduğu için Dönme Dinamiği ve manyetik kuvvet F = qv×B için Devreler.