Astrofysik-lommeregner

Astrofysik er den del af fysikken, der bruger tyngdekraft og bevægelse som arbejdssprog for alt fra en måne til en galakse. De seks lommeregnere i dette panel besvarer de seks tilbagevendende spørgsmål, man kan stille om ethvert legeme eller enhver bane: Hvor hurtigt skal noget kastes for at forlade systemet? Hvor hurtigt skal det være for at kredse om det? Hvor lang tid tager en bane? Hvor lille skulle den samme masse kollapse for at blive til et sort hul? Hvor meget delta-v får en raket pr. brændstofbrøk? Og hvor langt væk er en galakse, hvis lys er rødforskudt? Alt andet — afstande målt ved parallakse mod Jordens baneradius på én astronomisk enhed (AE = 1,496×10¹¹ m), størrelsesklasser som den logaritmiske rangering af lysstyrke, rødforskydning z ≈ v/c som den lavhastigheds-version af Hubbles lov — hviler på det samme newtonske og relativistiske fundament.

Ethvert legeme med masse M og radius R danner en potentialebrønd med dybden GM/R pr. masseenhed. For at klatre op fra overfladen kræves en kinetisk energi mindst lig med denne dybde, og det giver flugthastigheden. Sæt Jorden ind: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — panelet giver v_e ≈ 11.186 m/s (11,19 km/s, cirka Mach 33). Mars ligger på ≈ 5,03 km/s, Månen på 2,38 km/s, Jupiter på 60 km/s (hvor brint er et dårligt raketdrivmiddel, men matematikken er den samme), og Solen på 618 km/s. Bemærk: formlen forudsætter ingen luftmodstand og ingen yderligere fremdrift; det reelle tal for en hvilken som helst raket inkluderer aerodynamiske tab, tyngdetab under opstigningen og styretab. Det er også hastigheden fra hvile ved overfladen; et objekt, der allerede er i kredsløb, behøver det mindre Δv for at undslippe fra sin højde, aldrig den fulde overfladeværdi. Den samme skalering giver overfladevægten: på Mars (g = 3,71 m/s²) vejer en astronaut på 70 kg 260 N — massen er uændret, vægten følger den lokale tyngdeacceleration.

En stabil cirkulær bane balancerer centripetalacceleration mod tyngdekraften: v_o = √(GM/r). Panelets standardforvalg for Jorden ved r = 7×10⁶ m (cirka 629 km højde — ISS-område) giver v_o ≈ 7.546 m/s og en periode på 5.829 s (~1,62 time). Den reelle ISS ligger i ca. 408 km og kredser på ca. 92,7 minutter; panelets højde er et illustrativt tal, ikke en flyveplan. Relationen giver også flugt — multiplicér v_o med √2 for at få v_e i samme højde. Banehastigheden er uafhængig af den kredsende masse; en fjer og et slagskib i samme bane bevæger sig med samme hastighed (i vakuum), hvilket er grunden til, at banemekanik behandler satellitter som punktpartikler.

T² = (4π²/GM) · a³ knytter omløbsperioden til storhalvaksen. Panelets Sol-Jord-forvalg (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AE pr. definition) giver T ≈ 365,21 dage — netop længden af vores år. Løses det den anden vej — givet en periode i sekunder, beregn a — er det sådan, astronomer måler storhalvaksen for enhver satellit, hvis periode de kan tage tid på. Den samme grundlinje på 1 AE er også definitionen af parsec: en stjerne, der viser en parallakseforskydning på 1 buesekund mod baggrunden, mens Jorden bevæger sig 2 AE, er præcis 1 parsec = 3,26 lysår væk — og 1 parsec = 206.265 AE. Kilometer og lysår bliver uhåndterlige på interstellare skalaer; parsec og AE er de praktiske enheder.

Hvis man komprimerer en masse M under dens Schwarzschild-radius R_s = 2GM/c², kan intet signal indefra slippe ud: det er horisonten for et ikke-roterende sort hul. Tallene er overraskende små for almindelige masser: Jordens R_s er cirka 8,87 mm — mindre end en marmorkugle; Solens er cirka 2,95 km. For at kollapse begge ville der kræves tætheder, som ingen kendt materietilstand giver. Rigtige sorte huller dannes ved stjerners død, hvor 14,76 km for en 5 M_⊙-rest (panelets forvalg "lille SH") er den rigtige størrelsesorden for objekter af Cygnus X-1-typen, mens et supermassivt sort hul på 4×10⁶ M_⊙ som Sagittarius A* i vores galaktiske centrum har R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (cirka 17% af Merkurs bane). Schwarzschild-radius er en koordinatforudsigelse fra den generelle relativitetsteori; horisonten for et roterende (Kerr-)sort hul er anderledes og kan være mindre.

Bevarelse af impuls for en raket, der udstøder udstødning bagud med hastigheden v_e ved et massforhold m₀/m_f, giver Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Panelets indlæsbare eksempel (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500.000 kg, m_f = 50.000 kg) giver Δv ≈ 6.907,76 m/s for et massforhold på 10 og en drivmiddelandel på 90%. Ligningen er brutalt logaritmisk: fordobles drivmidlet, tilføjes v_e·ln(2) af Δv, og det fordobler det aldrig. Lav jordbane kræver cirka 9,4 km/s Δv i alt; geostationær overførselsbane cirka 11,5 km/s; månetransfer cirka 12,5 km/s — årsagen til, at raketter trinopdeles, hvorfor de øvre trin er små brøkdele af startmassen, og hvorfor enkelttrins-til-kredsløb fortsat er bøvlet.

Edwin Hubbles observation fra 1929, at galakser fjerner sig med en hastighed proportional med afstanden, giver d = v/H₀. Med panelets H₀ = 70 km/s/Mpc ligger en galakse med v = 1.000 km/s i d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ lysår. For nærliggende galakser er fjernelseshastigheden en lille brøkdel af c, så z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; den lineære Hubble-lov er så et specialtilfælde af kosmologisk fjernelse i et ekspanderende univers. Relationen bryder sammen ved høj rødforskydning (z > 0,1), hvor den fulde kosmologiske model overtager, og derfor advarer infoboksen om, at formlen gælder for "relativt nærliggende" galakser — den samme forbehold gælder for brugen af v_e eller v_o tæt på lysets hastighed (relativistiske korrektioner har betydning). Hubble-afstandsstigen — parallakse til Cepheider til type Ia-supernovaer til Hubble-strømmen — er det, der kalibrerer H₀ selv, og den nuværende H₀-spænding mellem lokale og CMB-udledte værdier er stadig et af kosmologiens åbne problemer.

• Flugthastighed er en opsendelseshastighed fra jorden. Det er hastigheden fra hvile i den givne radius uden yderligere fremdrift; en raket, der klatrer med konstant lav kraft i flere timer, behøver ikke at ramme v_e på noget tidspunkt.
• Sorte huller suger ting ind som vakuumer. Horisontradius bestemmes af den centrale masse, ikke af det objekt, der "trækkes". Ved r » R_s er tyngdekraften blot Newtons; først meget tæt på horisonten bliver den uundgåelig. Var Solen et sort hul med samme masse, ville den slet ikke ændre Jordens bane.
• Mere drivmiddel giver proportionalt mere Δv. Tsiolkovskij er logaritmisk: fordobles drivmidlet, øges v_e·ln(2) — ikke fordobles delta-v. Det er det vigtigste enkelte tal i raketteknik.
• Parallakse måler stjerners størrelse. Parallakse måler afstand ved den samme geometriske triangulering, som landmålere bruger — jo større grundlinje, jo længere rækkevidde. Grundlinjen på 2 AE fra Jordens årlige bane gør parsec til en naturlig enhed.

Relaterede værktøjer: Mekanik for den underliggende kinematik, Moderne fysik for relativistiske effekter ved høj hastighed og Lommeregner for den algebraiske maskinværk, der kører formlerne ovenfor.