Tre produkter klarer alt, man har brug for: prikproduktet (en skalar, der måler justering, A·B = |A||B|cosθ), krydsproduktet (en vektor vinkelret på begge input, størrelse |A||B|sinθ) og projektionsoperatoren (komponenten af A langs en valgt retning). De er bogholderiet i enhver fysikformel, der involverer mere end én vektor.
Størrelse og det klassiske 2D-eksempel
Den rektangulære trekant 3-4-5 er det klassiske eksempel for 2D-vektorer. Tag A = (3, 4). Dens størrelse er |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Dens retning fra +x-aksen er arctan(4/3) ≈ 53,13°. Enhver 2D-vektor kan skrives som en størrelse gange en enhedsvektor, der peger i den retning: A = 5·(0,6, 0,8). Opdelingspanelet tager en størrelse og vinklerne θ og φ og returnerer x-, y- og z-komponenterne under enten den sfæriske konvention (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) eller den plane (hvor φ ignoreres, x = r cosθ, y = r sinθ). For r = 10, θ = 36,87° i 2D-tilstand returneres (8, 6, 0) — den rektangulære trekant 6-8-10, skaleret fra den oprindelige 3-4-5. At genkende disse heltalstrekanter er genvejen til at se, hvilke komponenter der står vinkelret, uden at skulle bruge trigonometri.
Prikprodukt — skalarmål for justering
For to vektorer A og B er prikproduktet A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) en skalar, der er lig med |A||B|cosθ — altså produktet af størrelserne gange cosinus til vinklen mellem dem. Standardeksemplet i 2D (A = (3, 4), B = (5, 2)) giver A·B = 15 + 8 = 23, størrelserne |A| = 5 og |B| = √29 ≈ 5,385, og cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, så θ ≈ 31,33°. Tre fortegnskonsekvenser bærer hele fortolkningen: cosθ > 0 betyder, at vinklen er spids, og vektorerne peger generelt i samme retning; cosθ < 0 betyder stump, og vektorerne modarbejder hinanden; cosθ = 0 betyder vinkelrette. Prikproduktet er det arbejde, en kraft F udfører langs en forskydning d (W = F·d), og cosinus er grunden til, at et skub i en vinkel er mindre effektivt end et skub langs bevægelsesretningen.
Krydsprodukt — vektor vinkelret på begge input
Krydsproduktet er en operation, der kun findes i 3D, og dens resultat er en vektor vinkelret på begge input, med størrelsen |A||B|sinθ og retningen fastlagt af højrehåndsreglen (peg med pegefingeren langs A, langfingeren langs B, så giver tommelfingeren A×B). I komponenter er A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Standardeksemplet i 3D (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) giver A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Krydsproduktet er antisymmetrisk: B×A = −A×B, så ombytning af input vender fortegnet. Tre fysikforekomster: drejningsmoment τ = r×F (rotationskraft), impulsmoment L = r×p (banens impulsmoment) og magnetisk kraft F = qv×B på en bevægelig ladning. Størrelsen |A×B| er lig med arealet af parallelogrammet, de to vektorer udspænder, og derfor beskriver krydsproduktets resultater altid areal eller rotation. Drejningsmoment er krydsproduktet i praksis: τ = r×F har størrelsen |r||F|sinθ, så at skubbe gennem omdrejningspunktet giver nul, og en længere skruenøgle giver mere.
Vinkel mellem vektorer
Når man har prikproduktet og størrelserne, er vinklen én arcus-cosinus: cosθ = A·B/(|A||B|), med θ i [0, π]. Et lille prikprodukt i forhold til størrelserne betyder næsten vinkelrette vektorer; et prikprodukt lig med |A||B| betyder, at vektorerne peger samme vej (θ = 0); et prikprodukt lig med −|A||B| betyder modsat (θ = π). Formlen er den samme i 2D og 3D — kun dimensionen på komponentsummerne er forskellig. Geometrisk kan prikproduktet ses som en projektion af A på B (eller B på A) gange størrelsen af den anden, så cosinus er bogstaveligt talt projektionsforholdet.
Enhedsvektor og projektion
En enhedsvektor er en vektor med størrelsen 1, der peger i samme retning som den oprindelige: u = A / |A|. Enhedsvektorer er måden at beskrive "ren retning" på; basisvektorerne i, j, k i kartesiske koordinater er de klassiske eksempler, og enhver retning i 3D kan skrives som en linearkombination af dem. Projektionen af A på B (eller komponenten af A langs B) er projBA = (A·B / |B|²) · B — den del af A, der ligger langs B. Den skalare version (A·B/|B|) er den fortegnsbestemte længde af den projektion. Det er det, der gør prikproduktet til arbejdsformlen: forskydningens komponent langs kraften, gange kraftens størrelse, er det udførte arbejde.
Misforståelser
- Prikproduktet er multiplikation af vektorer. Det er skalarproduktet — det giver et tal, ikke en vektor. Tilsvarende er krydsproduktet vektorproduktet. At kalde dem "multiplikation" skjuler, at de har helt forskellige resultater.
- Krydsproduktet er en skalar. I 2D kaldes den vinkelrette komponent undertiden en skalar (determinanten axby − aybx), men i 3D er krydsproduktet virkelig en vektor. Både størrelsen og retningen er fysisk meningsfulde.
- Krydsproduktet er kommutativt. Det er antikommutativt: A×B = −B×A. Rækkefølgen betyder noget — drejningsmomentet r×F har den modsatte retning af F×r.
- En vektor har en fast placering. Vektorer er frie — man kan flytte dem rundt på siden uden at ændre dem. Det, der er fast, er deres størrelse og retning; kun bestemte vektorer i fysik (stedvektorer, det elektriske felt i et punkt) er knyttet til en placering.
Relaterede værktøjer: Mekanik for drejningsmoment, arbejde og impulsmoment i sammenhæng, Rotationsdynamik for hvordan krydsproduktet opbygger impulsmoment, og Kredsløb for den magnetiske kraft F = qv×B.
