Bølger & svingninger-lommeregner

Svingninger og bølger er den samme underliggende fysik i forskellige kostumer. En svingning er alt, der bevæger sig frem og tilbage omkring en ligevægtsposition — en masse på en fjeder, et pendullod, en spænding over en kondensator, højden af en guitarstreng, trykket inde i en lydbølge. En bølge er en svingning, der bevæger sig: den samme frem-og-tilbage-bevægelse, men nu sker den på et lidt forskelligt tidspunkt i hvert punkt i rummet, så et øjebliksbillede viser et sinusformet mønster, der forplanter sig. Begge styres af én differentialligning, den harmoniske oscillator (SHM) x''(t) = -ω²x(t), hvis generelle løsning er sinuskurven x(t) = A cos(ωt + φ). Derfra gælder perioden T = 2π/ω, frekvensen f = ω/(2π), topfarten v_max = Aω og topaccelerationen a_max = Aω². Seks paneler på denne side dækker de klassiske tilfælde: SHM selv, pendulet som ur, bølgeligningen v = fλ for vandrende bølger, dopplerforskydning, når kilde eller observatør bevæger sig, LC-resonans som den elektriske analog til en masse på en fjeder og svævningsfrekvens, når to nære toner interfererer.

SHM er enhver bevægelse, hvor den gendrivende kraft (eller drejningsmoment, spænding eller trykforskel) er proportional med udsvinget fra ligevægt. Massen på en fjeder er det klassiske tilfælde: F = -kx giver x'' = -(k/m)x, så ω = √(k/m). Positionen til ethvert tidspunkt er x(t) = A cos(ωt + φ), hastigheden v(t) = -Aω sin(ωt + φ), accelerationen a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Med eksemplet (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) er T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Indtastes også et tidspunkt t, angiver lommeregneren de øjeblikkelige x(t), v(t), a(t) — tre sinuskurver forskudt 90° i fase. SHM optræder i atomare gitre (hvor det modellerer fononer), i vekselstrømskredsløb (hvor spænding og strøm svinger sinusformet med ω = 2πf) og i enhver lille vibration omkring ligevægt.

Et pendul med længden L, der svinger under tyngdekraften g ved små vinkler (θ < ~15°), opfylder SHM-ligningen med ω = √(g/L). Perioden er den berømte T = 2π√(L/g), som Galilei først bemærkede er uafhængig af lodets masse og af, hvor langt man svinger det. Med L = 1 m og g = 9,81 m/s² (Jorden) er T ≈ 2,006 s, det klassiske "sekundpendul", der gav meteren sin oprindelige definition (halv periode = 1 s). På Månen, med g = 1,62 m/s², tager det samme 1 m pendul T ≈ 4,94 s; på Mars (g = 3,72 m/s²) er T ≈ 3,26 s. Over cirka 15° udsving begynder tilnærmelsen for små vinkler at afvige, og et korrektionsled kommer ind, og derfor bruger et rigtigt bedsteurs et langt, langsomt pendul (lavt udsving) frem for et kort, hurtigt. Lodets masse ophæves i √(g/L): tunge og lette lod på samme snor har identiske perioder.

Enhver vandrende bølge, hvad enten det er lyd, lys, vand eller seismisk, adlyder den samme grundlæggende relation: v = fλ — bølgehastighed er lig med frekvens gange bølgelængde. De tre tilstande her løser for én hvilken som helst ukendt, når de to andre er givet. Eksemplet (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) giver v = 343,2 m/s — præcis lydens hastighed i luft ved 20°C. Tre referencehastigheder forankrer størrelsesordenerne: lyd i luft ~343 m/s, lyd i vand ~1480 m/s, lys i vakuum c = 3×10⁸ m/s. For at omregne bølgen fra ét medium til et andet bruges Snells lov (dækket på optikssiden) til brydning, men inde i et enkelt homogent medium er v fastlagt af mediets egenskaber (tæthed og stivhed for lyd, permittivitet og permeabilitet for lys).

Dopplereffekten er ændringen i den observerede frekvens, når kilde og observatør bevæger sig i forhold til hinanden. Den klassiske formel er f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), hvor det øvre fortegn i tælleren anvendes, når observatøren bevæger sig mod kilden (hører en højere tonehøjde), og det nedre fortegn i nævneren, når kilden bevæger sig mod observatøren (hører stadig en højere tonehøjde). Eksemplet (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, kilden stationær, observatøren bevæger sig mod kilden med 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, en forskydning på +87,46 Hz eller +8,75%. Den samme kilde med 30 m/s, der bevæger sig mod en stationær lytter, giver det samme svar (formlen er symmetrisk). Ved høje hastigheder bliver den relativistiske korrektion betydelig; for en radarpistol, der måler en bil med 30 m/s, afviger γ-faktoren fra 1 med kun cirka 5×10⁻⁷, og derfor er den klassiske formel tilstrækkelig for lyd, mens lys kræver den relativistiske version.

Et LC-kredsløb (en spole L parallelt med en kondensator C) er den elektriske analog til massen på en fjeder: ladning spiller rollen som udsving, strøm rollen som hastighed, induktansen L rollen som masse, og 1/C rollen som fjederstivhed. Ladningen svinger med ω = 1/√(LC), svarende til f = 1/(2π√(LC)). Eksemplet (L = 100 mH, C = 10 μF) giver LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, så f ≈ 159,15 Hz med vinkelfrekvensen ω ≈ 1000 rad/s og perioden T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Rigtige LC-kredsløb har også modstand, hvilket får svingningen til at aftage — netop den aftagningshastighed minimerer en AM-radiotuner for at vælge en station rent. Tilføjes en drevet kilde præcist ved f, tvinges kredsløbet i resonans, med spændings- og strømamplituder langt større end uden for resonans.

Når to toner med lidt forskellige frekvenser spilles sammen, er lufttrykket summen af to sinuskurver — hvilket ved trigonometri er lig med en cosinus ved gennemsnitsfrekvensen f_p = (f₁ + f₂)/2, moduleret af en langsom indhylling ved f_beat = |f₁ − f₂|. Øret hører gennemsnitstonehøjden tiltage og aftage med svævningsfrekvensen. Eksemplet (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) giver f_beat = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, svævningsperiode = 0,2 s — en tydeligt hørbar pulsering 5 gange i sekundet. Under cirka 10 Hz høres svævningerne som adskilte pulser; over cirka 30 Hz smelter de sammen til en ruhed eller tremolo. Klaverstemmere udnytter dette: de slår en referencetone og den streng, der justeres, lytter efter svævninger og finjusterer, indtil svævningerne forsvinder. Når strengene er perfekt stemt, er f_beat = 0, og lommeregneren angiver "Identiske frekvenser — ingen svævninger".

• Periode og frekvens er ikke det samme. T (sekunder pr. cyklus) og f (cykler pr. sekund) er reciprokke. T = 1/f. En svingning på 0,5 Hz tager 2 sekunder at gennemføre én cyklus.
• Penduleperioden afhænger kun svagt af udsvinget. Den eksakte periode for et endeligt udsving θ₀ er T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). For 15° er det en korrektion på 0,7%, for 30° cirka 1,7% — normalt ignoreret i indledende opgaver.
• Dopplerforskydningen er den samme, uanset om kilden eller observatøren bevæger sig. Hvad enten kilden bevæger sig mod en stationær observatør, eller observatøren bevæger sig mod en stationær kilde med samme hastighed, er tonehøjdeforskydningen identisk (ikke-relativistisk).
• Resonans er ikke det samme som maksimal amplitude. Resonans er betingelsen ω_drev = ω_naturlig. Med dæmpning ligger topamplituden under den udæmpede værdi; uden dæmpning vokser amplituden uden grænse (begrænset kun af ulinearitet).

Relaterede værktøjer: Moderne fysik for de Broglie-bølger og bølge-partikel-dualiteten, Elektricitet & kredsløb for vekselstrømsanalysen, hvor LC-resonans hører hjemme, og Optik & lys for elektromagnetiske bølger.