Hver måling er et tal med en ærlig ledsager: hvor sikre kan vi være? Den ledsager har to dele — en tilfældig fejl, som gentagelse af målingen midler ned, og en systematisk fejl, en bias der vedvarer, uanset hvor mange gange man måler. Den ærlige angivelse af en hvilken som helst størrelse er derfor x ± u(x), hvor u er en veldefineret usikkerhed; symbolet ± er en forkortelse for "cirka dette interval med denne sandsynlighed". De fire lommeregnere på dette panel dækker de praktiske værktøjer: optælling af betydende cifre (bogholderiets genvej), fortplantning af usikkerheder gennem summer, differenser, produkter, kvotienter og potenser (regningen med fejl), standardafvigelse (hvor spredte data er) og den GUM-agtige kombinerede usikkerhed for flere uafhængige komponenter.
To slags fejl, to modsatte opførsler: tilfældig fejl skrumper med kvadratroden af N (σ/√N), så gennemsnit vinder altid; systematisk fejl skrumper slet ikke, og derfor betyder kalibrering mere end gentagelse. En måling kan have et lille σ og stadig være forkert på grund af bias.
Betydende cifre — bogholderiets genvej
Et betydende ciffer er et ciffer, man kender med sikkerhed; nuller, der udfylder et tal til en størrelseskonvention, er det ikke. Fem regler: (1) alle ciffer forskellige fra nul er betydende, (2) nuller mellem ciffer forskellige fra nul er betydende, (3) foranstillede nuller er ikke betydende (de placerer blot kommaet), (4) efterstillede nuller efter et decimaltegn er betydende, (5) efterstillede nuller uden decimaltegn er tvetydige (brug videnskabelig notation). Standardværdien 0,0070800 har derfor 5 betydende cifre (7, 0, 8, 0, 0) og læses som (7,0800 ± 0,00005)×10−3. At angive 0,0070800 indebærer samme præcision som at angive 7,0800×10−3; at angive 0,00708 indebærer en tusindedel så stor præcision. Genvejen virker til lærebogsrapporter; for en reel måling er usikkerheden u det ærlige tal, og betydende cifre er en praktisk måde at udtrykke den på uden at skrive ± hver gang.
Fejlforplantning — regningen med fejl
For z = f(x, y) er reglen for at kombinere uafhængige usikkerheder σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². For de fire almindelige operationer reduceres det til: addition/subtraktion lægger absolutte fejl sammen kvadratisk σz = √(σx² + σy²); multiplikation/division lægger relative fejl sammen kvadratisk σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); potens xn skalerer den relative fejl med |n|: σz/z = |n|σx/x. Standardeksemplet (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, addition) giver z = 15 og σz ≈ 0,36, eller 15,00 ± 0,36 (cirka 2,4% relativt). Skiftes til multiplikation med de samme inputs, fås z = 50 ± 2,5 (5% relativt) — de samme ±-værdier, men en helt anden fortplantningsregel, og den relative usikkerhed for produktet er lig med den kvadratiske sum af de relative usikkerheder. Absolutte usikkerheder er den rette valuta for summer og differenser; relative usikkerheder er den rette valuta for produkter og kvotienter.
Standardafvigelse — spredningen i data
Standardafvigelsen σ er kvadratroden af gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser fra middelværdien. Der findes to versioner afhængigt af, hvad dataene repræsenterer: population σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) beskriver spredningen af alle medlemmer i et kendt sæt; stikprøve s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) estimerer spredningen i den større population, stikprøven er trukket fra. Standardeksemplet (10 værdier fra 12,2 til 12,8 med middelværdi 12,5) giver population σ ≈ 0,1732, stikprøve s ≈ 0,1826 og SEM = s/√N ≈ 0,0577. Usikkerheden på selve middelværdien er σ/√N (eller s/√N for stikprøveversionen), og derfor reducerer gennemsnit af 25 målinger af en enkelt størrelse usikkerheden med en faktor 5 i forhold til én måling. Standardafvigelsen bruges også til konfidensintervaller: for en normalfordeling indeholder ±1σ 68,3%, ±2σ 95,5% og ±3σ 99,7%.
Udvidet usikkerhed — kombination af alle kilder
Når en måling har flere uafhængige fejlkilder (instrumentopløsning, kalibrering, gentagelighed, temperaturdrift, operatøreffekt), er den GUM-agtige kombinerede usikkerhed uc = √(Σui²). Kilder klassificeres som type A (statistiske, fra data) og type B (alt andet, med usikkerheder estimeret ved skøn eller producentens specifikation); begge indgår i uc på samme måde. En dækningsfaktor k skalerer derefter intervallet til en valgt konfidens: k = 1 for 68,3%, k = 2 for 95,5%, k = 2,58 for 99,0%, k = 3 for 99,7%. Standardeksemplet (kilder på 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) giver uc ≈ 0,1797 mm og U = k·uc ≈ 0,3595 mm ved 95,5%. Den angivne værdi bliver (måling ± 0,36) mm med den konfidens. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) er den internationale standard for proceduren. Type A-komponenter kommer fra statistik over gentagne aflæsninger, type B fra instrumentspecifikationer og skøn — begge kombineres med den samme kvadratiske sum.
Almindelige misforståelser
- Flere betydende cifre betyder en mere nøjagtig måling. Kun hvis de cifre reelt stammer fra målingen. En længde på "12,34567 m", skrevet i hånden, er ikke nøjagtig på én del ud af 10 millioner — betydende cifre er en måde at kommunikere præcision på, ikke en måde at opfinde den på. At angive ± er mere ærligt end at udfylde med opdigtede cifre.
- Systematisk fejl kan reduceres ved gennemsnit. Det modsatte: tilfældige fejl midles ned som 1/√N, men en systematisk bias (en fejlkalibreret vægt, et forskudt nulpunkt) bliver liggende, uanset hvor mange målinger der tages. Identificér bias og gennemsnit ikke den væk. Det er fælden i "dataene ser så reproducerbare ud!" i et defekt forsøg.
- Standardafvigelsen fortæller om fejlen i en enkelt måling. Den karakteriserer spredningen af fordelingen, ikke fejlen i et enkelt forsøg. Standardfejlen på middelværdien (s/√N) er den relevante størrelse, når man angiver, hvor godt man kender x̄ ud fra en stikprøve på N.
- Usikkerheden angives altid med ± i det sidste ciffer. Den almindelige konvention er "afrund usikkerheden til ét (undertiden to) betydende cifre, og afrund derefter værdien, så den passer". En måling på 12,345678 ± 0,234 skal angives som 12,35 ± 0,23, ikke som 12,345678 ± 0,234.
Relaterede værktøjer: Statistik for de underliggende sandsynlighedsfordelinger, Mekanik for de eksperimentelle opstillinger, der giver tallene, og Lommeregner for algebraen i fortplantningen.
