Fysiksimuleringer

Interaktive fysiksimuleringer med animation i realtid på canvas. Omfatter projektilbevægelse, enkelt og dobbelt pendul, bølgeinterferens, elektriske feltlinjer og sammensætning af kraftvektorer. Se også: Mekanik | Vektorregner | Bølger.
Projektilbevægelse: Bane med flyvning i realtid. x(t)=v0·cosθ·t, y(t)=h0+v0·sinθ·t-½gt². Rækkevidde R=v0²sin(2θ)/g (h0=0). Maks. højde H=h0+v0²sin²θ/(2g).
Hvad er disse fysiksimuleringer?

Fem realtids-canvas-animationer viser, hvordan fysikkens ligninger ser ud i bevægelse: banen for en bold under tyngdekraft, svingningen af et enkelt pendul og den kaotiske dans af et dobbelt pendul, interferensmønstret fra to cirkulære bølger, feltlinjerne omkring punktladninger og polygonsammensætningen af tre kræfter. Matematikken er identisk med formlerne andre steder på siden; canvasset viser, hvordan løsningen ser ud i tid og rum. Hvert panel tager nogle få inputs og giver enten en numerisk aflæsning (projektil, kraftsammensætning, e-felt) eller en visuel en (pendul, bølgeinterferens). Samlet udgør de et lille laboratorium i browseren, hvor man kan variere en parameter og straks se resultatet ændre sig.

Simuleringer er ligninger gjort synlige: den samme algebra, de samme konstanter og de samme randbetingelser — gengivet som en animation, der lader en variere parametrene og se resultatet ændre sig. Brug dem til at opbygge intuition: skift udskydningsvinklen og se rækkeviden nå sit maksimum ved 45°, skift fortegnet på ladningen og se feltlinjerne vende, skift bølgelængden og se interferensmønstret skrumpe eller brede sig.
Projektilbevægelse — den klassiske parabel

En bold, der affyres med starthastighed v0 i vinklen θ fra højden h0, følger de parametriske ligninger x(t) = v0 cosθ · t og y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t². Canvasset tegner banen, mens bolden flyver, og angiver den endelige rækkevidde, flyvetid og maksimal højde. Standardeksemplet (v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, Jordens g = 9,81 m/s²) giver flyvetid ≈ 3,604 s, rækkevidde ≈ 63,70 m og maks. højde ≈ 15,929 m. Skiftes til Månens forvalg (g = 1,62), når den samme opsendelse ≈ 385,8 m på ≈ 21,82 s — den samme parabel, seks gange længere og længere væk, præcis hvad der gør månesport så absurd, og hvad astronauten Alan Shepard udnyttede med sin improviserede seksjern. Canvasset tegner banen igen med en rød prik, der følger boldens position, og skriver rækkevidde og maksimal højde direkte på diagrammet.

Pendul — harmonisk og kaotisk

Et simpelt pendul med længden L, sluppet fra vinklen θ, følger θ″(t) = −(g/L) sinθ, her integreret med semi-implicit Euler. For små udsving (sinθ ≈ θ) er bevægelsen harmonisk med perioden T = 2π√(L/g); standardværdien L = 1,5 m på Jorden giver T ≈ 2,458 s. For større udsving vokser perioden lidt, fordi sinθ ikke længere er en god lineær tilnærmelse — et udsving på 60° er cirka 7% langsommere end et udsving på 5° med samme længde. Det dobbelte pendul er et andet dyr: to stive led med masser i leddene, styret af koblede ulineære ligninger, integreret på samme måde men med kaos til følge. Små forskelle i startvinklen fører til vildt forskellige baner inden for få svingninger — kendetegnet for deterministisk kaos, og derfor er dobbelte pendler det klassiske lærebogseksempel på et kaotisk mekanisk system. Skifter man fra "Enkelt" til "Dobbelt" i rullemenuen, dukker den anden stang op med startvinklen θ2; tryk på Start og se svingningsmønstret divergere uforudsigeligt. Enkeltpendul-simuleringen dæmper også hvert billede (faktor 0,9995), på samme måde som et rigtigt pendul mister energi til luftmodstand og friktion i ophænget.

Bølgeinterferens — superposition fra to kilder

To punktkilder udsender cirkulære bølger med samme bølgelængde λ; i hvert punkt i planet er den resulterende forstyrrelse summen af de to. Hvor de to bølgetoppe ankommer i fase, fordobles amplituden (konstruktiv interferens); hvor en top fra den ene møder en dal fra den anden, ophæver de hinanden (destruktiv interferens). Betingelsen for konstruktiv interferens er r1 − r2 = mλ for heltal m; for destruktiv interferens er den r1 − r2 = (m + ½)λ. Canvasset maler et intensitetskort (lyst = høj amplitude, mørkt = udslukning) og lægger knudelinjerne ovenpå, hvor r1 − r2 = mλ (med valgmuligheden for stiplede linjer). Den indbyrdes afstand på standardeksemplet (120 px = 3λ) viser tydelige skiftende lyse og mørke bånd langs den vinkelrette halveringslinje — det samme mønster, der giver de lyse og mørke striber i Thomas Youngs dobbeltspalteforsøg og de farvede bånd af lys, der reflekteres fra en oliefilm.

Elektriske feltlinjer — tætheden viser styrken

Det elektriske felt omkring en punktladning Q er en radial vektor med størrelsen E = kQ/r²; for to ladninger er feltet i ethvert punkt vektorsummen Etotal = E1 + E2. Canvasset tegner 16 feltlinjer fra kildeområdet ved hjælp af et Euler-trin på 4 px i retningen af det lokale felt. Linjer udgår fra positive ladninger (Q > 0) og ender i negative (Q < 0); i standardeksemplet (Q1 = +5, Q2 = −3, med |Q1·Q2| = 15) viser mønstret linjer, der forlader den røde +ladning til venstre og krummer udad, og de fleste af dem ender på den blå −ladning til højre, mens et par undslipper til uendelig (fordi størrelserne er forskellige). Feltlinjetætheden er proportional med feltstyrken: tæt pakkede linjer angiver et stærkt felt, spredte linjer et svagt. Vendes begge fortegn, vender linjernes retning uden at geometrien ændrer sig.

Kraftsammensætning — polygonmetoden

Når flere kræfter virker på et objekt, er resultanten deres vektorsum, ikke deres skalarsum. Polygonmetoden (eller hoved-til-hale-metoden) placerer hver kraftvektor hoved-til-hale, startende fra origo; resultanten R er vektoren fra origo til den sidste spids. Komponentvis: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²) og θR = arctan(Ry/Rx). Canvasset tegner hver kraft som en farvet pil (F1 rød, F2 blå, F3 grøn) fra origo, derefter en stiplet lilla linje fra origo til den sidste spids, der viser resultanten, samt lysegrå polygonlinjer, der følger banen hoved-til-hale. Standardeksemplet (F1 = 30 N ved 0°, F2 = 25 N ved 60°, F3 = 15 N ved 150°) giver Rx ≈ 29,51 N, Ry ≈ 29,15 N, |R| ≈ 41,48 N og θR ≈ 44,65° — en størrelse større end enhver enkelt inputkraft, fordi retningerne delvist forstærker hinanden.

Almindelige misforståelser
  • Canvas viser den faktiske fysik, ikke en skitse. Hvert billede beregnes ud fra den underliggende ligning (Euler-integration for pendler, superposition for bølger, vektorsum for kræfter). Ændres inputtene, ændres matematikken; animationen er en direkte numerisk visualisering.
  • Et penduls periode afhænger af udsvinget. For små udsving (under cirka 15°) er perioden næsten uafhængig af udsvinget og lig med T = 2π√(L/g). For større udsving vokser perioden mærkbart — et udsving på 90° tager cirka 18% længere, end formlen for små vinkler forudsiger. Det "sekundpendul", man finder i et bedsteurs, er konstrueret til et lille udsving netop for at holde perioden helt stabil.
  • Elektriske feltlinjer er ikke reelle. De er en visualisering af feltet, ikke fysiske snore. Det egentlige elektriske felt er en vektor i hvert punkt i rummet; linjerne forbinder blot punkter, hvor feltet er tangentielt på en kontinuert måde. En feltlinje kan ikke "gribes".
  • Polygon- og parallelogrammetoderne giver forskellige svar. De giver det samme resultat. Parallelogrammetoden virker for to kræfter; polygonmetoden udvides naturligt til et vilkårligt antal. Begge er ækvivalente anvendelser af vektoraddition.

Relaterede værktøjer: Mekanik for de numeriske kinematiske formler, Vektorregner for komponentopdeling og prik-/krydsproduktet, Bølger & svingninger for de fulde ligninger for vandrende bølger, Elektricitet & kredsløb for strøm-/spændingsmodstykkerne og Optik & lys for den optiske version af bølgeinterferens (Youngs dobbeltspalte).