Gleichungslöser — linear, quadratisch, kubisch, Gleichungssysteme und numerische Nullstellensuche
Gleichungslöser
Gleichungen lösen verschiedener Art: linear, quadratisch, kubisch, lineare Gleichungssysteme, numerische Nullstellensuche und Ungleichungen.
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Newton-Raphson-Verfahren: xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn). Nähert eine Nullstelle von f(x) = 0 schrittweise an.
Die Ableitung wird symbolisch berechnet.
Benötigt eine gute Startschätzung x₀ nahe der gesuchten Nullstelle.
Ungleichungslöser: Löst Polynomungleichungen. Unterstützt <, <=, >, >=.
Verwendet einen symbolischen Löser. Das Ergebnis zeigt die Lösungsintervalle.
Beispiel: x^2 - 5x + 6 < 0 ergibt die Lösung 2 < x < 3.
Quadratisch: Löst ax² + bx + c = 0. Zeigt die Diskriminante, die Wurzelformel und die Probe mit den Satz von Vieta.
Kubisch: Löst ax³ + bx² + cx + d = 0. Zeigt alle reellen und komplexen Nullstellen.
Linear: Löst ax + b = 0. System 2x2/3x3: Cramersche Regel für lineare Gleichungssysteme.
Newton-Raphson: Numerische Nullstellensuche. Ungleichung: Löser für Polynomungleichungen mittels symbolischer Berechnung.
Analytische gegen numerische Lösungen
Eine analytische (geschlossene) Lösung gibt die Antwort als exakte Formel an — die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a löst jede quadratische Gleichung auf einen Schlag. Eine numerische Lösung startet dagegen mit einer Schätzung und nähert sich iterativ immer weiter an, wie das Newton-Raphson-Verfahren; sie funktioniert bei fast jeder Gleichung, liefert aber eine Näherung mit gewählter Genauigkeit.
Allgemeine Wurzelformeln gibt es nur für die Grade 1 bis 4, und dort endet es — der Satz von Abel und Ruffini beweist, dass es eine solche Formel für allgemeine Gleichungen fünften Grades nicht geben kann. Deshalb sind numerische Löser keine bequeme Abkürzung, sondern eine mathematische Notwendigkeit.
