Erkunden Sie arithmetische und geometrische Folgen, erzeugen Sie Fibonacci-Zahlen, berechnen Sie Reihensummen
und prüfen Sie die Konvergenz. Alle Berechnungen werden lokal in Ihrem Browser ausgeführt.
Modus:
Arithmetische Folge (AP)
a1, d, n eingeben und eine Operation wählen
Formel: an = a1 + (n-1)d | Sn = n/2[2a1 + (n-1)d] = n/2[a1 + an]
Geometrische Folge (GP)
a1, r, n eingeben und eine Operation wählen
Formel: an = a1 · rn-1 | Sn = a1(1-rn)/(1-r) | S∞ = a1/(1-r) für |r| < 1
Fibonacci & besondere Folgen
Folgentyp und Anzahl der Glieder wählen
Formel: F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(0)=0, F(1)=1.
Formel von Binet: F(n) = [φn - (-φ)-n]/√5 mit φ = (1+√5)/2.
Reihensummation
Summentyp wählen, n eingeben und auf Berechnen klicken
Kriterien: Die geometrische Reihe konvergiert für |r| < 1. Die p-Reihe konvergiert für p > 1. Die harmonische Reihe divergiert.
Quotientenkriterium: Gilt lim |an+1/an| < 1, konvergiert die Reihe.
Folgen gegen Reihen
Eine Folge ist eine geordnete Liste von Gliedern; eine Reihe entsteht, wenn man sie aufsummiert. Die beiden Hauptfamilien: arithmetische Folgen wachsen um eine konstante Differenz +d (2, 5, 8, 11…), geometrische Folgen werden mit einem konstanten Faktor r multipliziert (3, 6, 12, 24…).
Eine unendliche geometrische Reihe lässt sich exakt summieren — a + ar + ar² + … = a/(1−r) — aber nur für |r| < 1; bei |r| ≥ 1 schrumpfen die Glieder nicht, und es gibt keine endliche Summe. Genau das prüft jedes Konvergenzkriterium eigentlich.
