Astrofysiikan laskin

Astrofysiikka on fysiikan osa, joka käyttää painovoimaa ja liikettä kaiken kielenä kuusta galaksiin. Tämän paneelin kuusi laskinta vastaavat kuuteen toistuvaan kysymykseen, joita voidaan esittää millä tahansa kappaleella tai radalla: kuinka nopeasti jotain on heitettävä, jotta se poistuu järjestelmästä? Kuinka nopeasti sen ympäri on kierrettävä? Kuinka kauan kiertorata kestää? Kuinka pieneksi saman massan olisi tiivistyttävä, jotta siitä tulisi musta aukko? Kuinka paljon delta-v:tä raketti saa polttoainemurtoa kohden? Ja kuinka kaukana on galaksi, jonka valo on punasiirtynyt? Kaikki muu — parallaksilla Maan kiertoradan kantavälillä mitatut etäisyydet, yhden astronomisen yksikön (AU = 1,496×10¹¹ m) mittakaava, kirkkauden logaritmisena järjestyksenä ilmaistut magnitudit, punasiirtymä z ≈ v/c Hubblen lain pienen nopeuden muotona — perustuu samaan newtonilaiseen ja relativistiseen rakenteeseen.

Jokaisella massan M ja säteen R kappaleella on painopotentiaalikuoppa, jonka syvyys on GM/R massayksikköä kohti. Kuopasta nouseminen pinnalta vaatii liike-energiaa, joka on vähintään kuopan syvyyden suuruinen, ja tästä saadaan pakonopeus. Sijoita Maa: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — paneeli palauttaa v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, noin Mach 33). Marsin pakonopeus on ≈ 5,03 km/s, Kuun 2,38 km/s, Jupiterin 60 km/s (jossa vety on huono rakettipolttoaine, mutta laskutapa on sama) ja Auringon 618 km/s. Huomio: kaava olettaa, ettei ilmanvastusta ja lisäpotkua ole; minkä tahansa raketin todellinen luku sisältää aerodynaamiset häviöt, painovoimahäviöt nousun aikana ja ohjaushäviöt. Se on myös nopeus levosta pinnalla; kiertoradalla jo oleva kappale tarvitsee pienemmän Δv:n paetakseen omalta korkeudeltaan, ei koko pintaarvoa. Sama skaalaus määrää pintapainon: Marsissa (g = 3,71 m/s²) 70 kg:n astronautti painaa 260 N — massa ei muutu, paino seuraa paikallista painovoimaa.

Vakaa ympyräkiertorata tasapainottaa keskeiskiihtyvyyden ja painovoiman: v_o = √(GM/r). Paneelin oletus-Maa-esiasetus säteellä r = 7×10⁶ m (noin 629 km korkeudessa — ISS:n alueella) antaa v_o ≈ 7 546 m/s ja kiertoajan 5 829 s (~1,62 tuntia). Todellinen ISS on noin 408 km korkeudessa ja kiertää ~92,7 minuutissa; paneelin korkeus on havainnollinen luku, ei lentoaikataulu. Suhde antaa myös pakonopeuden — kerro v_o luvulla √2, niin saadaan v_e:n samalla korkeudella. Kiertonopeus ei riipu kiertävästä massasta; höyhen ja taistelulaiva samalla radalla liikkuvat samalla nopeudella (tyhjiössä), minkä vuoksi kiertoliikkeen mekaniikka käsittelee satelliitteja pistemäisinä hiukkasina.

T² = (4π²/GM) · a³ yhdistää kiertoajan puolisuurakselin pituuteen. Paneelin Aurinko–Maa-oletus (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU määritelmän mukaan) antaa T ≈ 365,21 vuorokautta — juuri vuotemme pituuden. Ratkaisu toiseen suuntaan — kun annetaan kiertoaika sekunteina, lasketaan a — on tapa, jolla tähtitieteilijät mittaavat minkä tahansa satelliitin puolisuurakselin, jonka kiertoajan he voivat mitata. Sama 1 AU:n kantaväli on myös parsekin määritelmä: tähti, joka näyttää 1 kaarisekunnin parallaksin muutoksen taustaa vasten, kun Maa kulkee 2 AU:n matkan, on täsmälleen 1 parsekin = 3,26 valovuoden päässä — ja 1 parsek = 206 265 AU. Kilometrit ja valovuodet käyvät hankaliksi tähtienvälisessä mittakaavassa; parsek ja AU ovat käytännön yksiköitä.

Jos massa M puristetaan Schwarzschildin säteensä R_s = 2GM/c² alle, sisältä ei mikään signaali pääse ulos: se on pyörimättömän mustan aukon tapahtumahorisontti. Luvut ovat tavallisille massoille yllättävän pieniä: Maan R_s on noin 8,87 mm — pienempi kuin marmorikuula; Auringon on noin 2,95 km. Kumpaankin romahtamiseen vaadittaisiin tiheyksiä, joita mikään tunnettu aineen tila ei tarjoa. Todelliset mustat aukot syntyvät tähtien kuolemassa, ja 14,76 km 5 M_⊙ jäänteelle (paneelin ”pieni musta aukko” -esiasetus) on oikea suuruusluokka Cygnus X-1 -tyyppisille kohteille. Supermassiivisen 4×10⁶ M_⊙ mustan aukon, kuten Linnunradan keskustan Sagittarius A*:n, R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (noin 17 % Merkuriuksen radasta). Schwarzschildin säde on yleisen suhteellisuusteorian koordinaattiennuste; pyörivän (Kerrin) mustan aukon todellinen horisontti eroaa tästä ja voi olla pienempi.

Liikemäärän säilyminen raketille, joka ampuu pakokaasua taaksepäin nopeudella v_e massasuhteella m₀/m_f, antaa Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Paneelin ladattava esimerkki (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) antaa Δv ≈ 6 907,76 m/s massasuhteella 10 ja polttoainemurtolla 90 %. Yhtälö on jyrkän logaritminen: polttoaineen kaksinkertaistaminen lisää Δv:tä v_e·ln(2), ei kaksinkertaista sitä. Matala Maan kiertorata vaatii noin 9,4 km/s kokonais-Δv:tä; siirtorata geostationaariradalle noin 11,5 km/s; Kuun siirtorata noin 12,5 km/s — siksi raketit ovat vaiheistettuja, ylävaiheet ovat pieniä osuuksia laukaisumassasta, ja yksivaiheinen kiertoradalle pääsy pysyy sitkeästi vaikeana.

Edwin Hubblen vuonna 1929 tekemä havainto, että galaksit etääntyvät nopeudella, joka on verrannollinen etäisyyteen, antaa d = v/H₀. Paneelin H₀ = 70 km/s/Mpc -arvolla galaksi, jonka nopeus on v = 1 000 km/s, on d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ valovuoden päässä. Lähigalakseille etääntymisnopeus on pieni osa c:tä, joten z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; lineaarinen Hubblen laki on tällöin erikoistapaus kosmologisesta etääntymisestä laajenevassa maailmankaikkeudessa. Suhde murtuu suurilla punasiirtymillä (z > 0,1), joissa täysi kosmologinen malli ottaa vallan — siksi tietolaatikko varoittaa, että kaava koskee ”suhteellisen läheisiä” galakseja. Sama varoitus koskee v_e:n tai v_o:n käyttöä lähellä valon nopeutta, sillä relativistiset korjaukset ovat silloin merkittäviä. Hubblen etäisyysportaat — parallaksi, Cepheid-muuttujat, Tyyppi Ia -supernovat ja Hubble-virtaus — kalibroivat itse H₀:n, ja nykyinen H₀-jännite paikallisten ja CMB-havaintoihin perustuvien arvojen välillä on yksi kosmologian avoimista ongelmista.

• Pakonopeus on laukaisunopeus maasta. Se on lepotilasta annetulla säteellä saavutettava nopeus ilman lisäpotkua; rakettia, joka nousee tasaisella pienellä työntövoimalla tunteja, ei tarvitse saavuttaa v_e-nopeutta millään hetkellä.
• Mustat aukot imevät asioita kuin tyhjiö. Horisonttisäde määräytyy keskeisen massan mukaan, ei vedettävän kohteen mukaan. Kun r » R_s, painovoima on pelkkää Newtonin painovoimaa; vasta hyvin lähellä horisonttia siitä ei voi paeta. Aurinko ei muuttaisi Maan rataa lainkaan, vaikka se olisi saman massan musta aukko.
• Enemmän polttoainetta tarkoittaa suhteessa enemmän Δv:tä. Tsiolkovski on logaritminen: polttoaineen kaksinkertaistaminen lisää v_e·ln(2), ei kaksinkertaista delta-v:tä. Tämä on rakettitekniikan tärkein yksittäinen luku.
• Parallaksi mittaa tähtien kokoja. Parallaksi mittaa etäisyyttä samalla geometrisella kolmiomittauksella, jota maanmittaajat käyttävät — mitä suurempi kantaväli, sitä kauempana on kohde. Maan vuosiradalta saatu 2 AU:n kantaväli tekee parsekista luonnollisen yksikön.

Liittyvät työkalut: Mekaniikka taustalla olevaan kinematiikkaan, Moderni fysiikka relativistisiin vaikutuksiin suurilla nopeuksilla ja Laskin yllä olevien kaavojen algebraan.