Mitä aallot ja värähtelyt ovat?
Värähtelyt ja aallot ovat sama taustalla oleva fysiikka eri asuissa. Värähtely on mikä tahansa liike, joka kulkee edestakaisin tasapainoasemasta — massa jousessa, heilurin paino, kondensaattorin yli oleva jännite, kitaran kielen korkeus, äänen aallon sisäinen paine. Aalto on värähtely, joka etenee: sama edestakainen liike, mutta nyt jokaisessa avaruuden pisteessä hieman eri ajanhetkellä, joten hetkkuva näyttää etenevän siniaaltokuvion. Molempia hallitsee yksi differentiaaliyhtälö, harmonisen värähtelijän (SHM) x''(t) = -ω²x(t), jonka yleinen ratkaisu on siniaalto x(t) = A cos(ωt + φ). Sieltä jaksonaika T = 2π/ω, taajuus f = ω/(2π), huippunopeus vmax = Aω, huippukiihtyvyys amax = Aω². Tämän sivun kuusi paneelia kattavat tyypilliset tapaukset: SHM itse, heiluri kellona, aaltoyhtälö v = fλ etenville aalloille, Doppler-siirtymä, kun lähde tai havaitsija liikkuu, LC-resonanssi massa-jousi-järjestelmän sähköisenä analogina sekä lyöntitaajuus, kun kaksi läheistä sävelä häiritsevät toisiaan.
Yksi yhtälö, kuusi puolta: x(t) = A cos(ωt + φ) on harmonisen värähtelyn malli. Sijoita x:n paikalle oikea fysikaalinen suure (heilurille kulma, LC-piirille varaus, äänelle paine, valolle sähkökenttä) ja kyseisen järjestelmän oikea ω (heilurille √(g/L), LC-piirille 1/√(LC), jousessa olevalle massalle √(k/m)), niin sama siniaalto kuvaa kaikki tämän sivun kuusi paneelia. Jaksonaika, taajuus, huippunopeus ja huippukiihtyvyys ovat yleisiä — vain symbolin sijoitus vaihtuu.
Yksinkertainen harmoninen liike — yleismaailmallinen siniaalto
SHM on mikä tahansa liike, jossa palauttava voima (tai vääntömomentti, jännite tai paine-ero) on verrannollinen siirtymään tasapainoasemasta. Massa jousessa on oppikirjaesimerkki: F = -kx tuottaa x'' = -(k/m)x, joten ω = √(k/m). Paikka ajan hetkellä on x(t) = A cos(ωt + φ), nopeus v(t) = -Aω sin(ωt + φ), kiihtyvyys a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Näytteellä (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, vmax = Aω = 0,628 m/s, amax = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Jos syötetään myös aika t, laskin ilmoittaa hetkelliset x(t), v(t), a(t) — kolme siniaaltoa, jotka ovat 90° vaiheessa toisistaan. SHM näkyy atomihiloissa (joissa se mallintaa foononeja), vaihtovirtapiireissä (joissa jännite ja virta värähtelevät siniaaltona ω = 2πf) ja missä tahansa pienessä tasapainon ympäri tapahtuvassa värähtelyssä.
Yksinkertainen heiluri — kello, joka ei tarvitse jousta
Pituudeltaan L olevan heilurin, joka heiluu painovoimassa g pienillä kulmilla (θ < ~15°), toteuttaa SHM-yhtälön, jossa ω = √(g/L). Jaksonaika on tunnettu T = 2π√(L/g), jonka Galilei ensimmäisenä havaitsi riippumattomaksi painon massasta ja siitä, kuinka pitkälle heiluri heilautetaan. Kun L = 1 m ja g = 9,81 m/s² (Maa), T ≈ 2,006 s, kanoninen "sekuntiheiluri", joka antoi metrille sen alkuperäisen määritelmän (puolijakso = 1 s). Kuussa, jossa g = 1,62 m/s², sama 1 m:n heiluri kestää T ≈ 4,94 s; Marsissa (g = 3,72 m/s²) T ≈ 3,26 s. Noin 15°:n amplitudin yläpuolella pienen kulman approksimaatio alkaa poiketa ja korjaustermi tulee mukaan, minkä vuoksi todellinen isovanhempien kello käyttää pitkää hidasta heiluria (pieni amplitudi) eikä lyhyttä nopeaa. Painon massa kumoutuu kaavassa √(g/L): raskas ja kevyt paino samassa langassa pitävät samat jaksonajat.
Aaltoyhtälö v = fλ — yksi rivi, kolme tuntematonta
Jokainen etenevä aalto, oli se ääni, valo, vesi tai seisminen, noudattaa samaa peruskaavaa: v = fλ — aallon nopeus on taajuus kerrottuna aallonpituudella. Kolme tilaa ratkaisee minkä tahansa tuntemattoman, kun kaksi muuta tunnetaan. Näyte (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) antaa v = 343,2 m/s — täsmälleen äänen nopeus ilmassa 20 °C:ssa. Kolme vertailunopeutta ankkuroivat suuruusluokat: ääni ilmassa noin 343 m/s, ääni vedessä noin 1480 m/s, valo tyhjiössä c = 3×10⁸ m/s. Aallon siirtymiseen väliaineesta toiseen käytetään taittumisessa Snellin lakia (katso optiikkasivu), mutta yhden homogeenisen väliaineen sisällä v määräytyy väliaineen ominaisuuksista (ääni: tiheys ja jäykkyys; valo: permittiivisyys ja permeabiliteetti).
Doppler-ilmiö — kun äänen korkeus muuttuu liikkeen mukana
Doppler-ilmiö on havaitun taajuuden muutos, kun lähde ja havaitsija liikkuvat toistensa suhteen. Klassinen kaava on f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs), jossa osoittajan ylempi merkki otetaan, kun havaitsija liikkuu kohti lähdettä (kuulee korkeamman sävelen), ja nimittäjän alempi merkki, kun lähde liikkuu kohti havaitsijaa (kuulee silti korkeamman sävelen). Näyte (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, lähde paikallaan, havaitsija liikkuu kohti lähdettä nopeudella 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, siirtymä +87,46 Hz eli +8,75 %. Sama 30 m/s:n lähde liikkuen kohti paikallaan olevaa kuuntelijaa antaa saman vastauksen (kaava on symmetrinen). Suurilla nopeuksilla relativistinen korjaus tulee merkitseväksi; tutka-aseen mitatessa autoa nopeudella 30 m/s γ-tekijä poikkeaa 1:stä vain noin 5×10⁻¹⁷, minkä vuoksi klassinen kaava riittää äänelle, mutta valo vaatii relativistisen version.
LC-resonanssi — heilurin sähköinen analogia
LC-piiri (kela L rinnan kondensaattorin C kanssa) on massa-jousi-järjestelmän sähköinen analogi: varaus vastaa siirtymää, virta nopeutta, induktanssi L massaa ja 1/C jousen jäykkyyttä. Varaus värähtelee taajuudella ω = 1/√(LC), vastaavasti f = 1/(2π√(LC)). Näyte (L = 100 mH, C = 10 μF) antaa LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, joten f ≈ 159,15 Hz kulmataajuudella ω ≈ 1000 rad/s ja jaksonajalla T ≈ 6,28×10⁻³ s. Todellisissa LC-piireissä on myös vastusta, joka saa värähtelyn vaimenemaan — tuota vaimenemisnopeutta AM-radion viritin pyrkii minimoimaan, jotta asema erottuu siististi. Ajettu lähde täsmälleen taajuudella f pakottaa piirin resonanssiin, jolloin jännite- ja virta-amplitudit ovat huomattavasti suuremmat kuin resonanssin ulkopuolella.
Lyöntitaajuus — kaksi säveltä, yksi verhokäyrä
Kun kaksi hieman eritaajuista sävelä soi yhdessä, ilmanpaine on kahden siniaallon summa — trigonometrian mukaan se vastaa kosinia keskitaajuudella fp = (f1 + f2)/2, jota moduloi hidas verhokäyrä taajuudella fbeat = |f1 − f2|. Korva kuulee keskimääräisen sävelkorkeuden vahvistuvan ja heikkenevän lyöntitaajuudella. Näyte (f1 = 440 Hz, f2 = 445 Hz) antaa fbeat = 5 Hz, fp = 442,5 Hz ja lyöntijakson 0,2 s — selvästi kuultava sykkivä ääni 5 kertaa sekunnissa. Alle noin 10 Hz lyönnit kuullaan erillisinä pulsseina; yli noin 30 Hz ne sulautuvat karheudeksi tai tremoloksi. Pianonvirittäjät hyödyntävät tätä: he soittavat vertailusävelen ja säätövan kielen, kuuntelevat lyöntejä ja säätävät, kunnes lyönnit katoavat. Kun kielet ovat täysin virittyneet, fbeat = 0 ja laskin ilmoittaa "Samat taajuudet — ei lyöntejä".
Yleisiä väärinkäsityksiä
- Jaksonaika ja taajuus eivät ole sama asia. T (sekuntia jaksoa kohden) ja f (jaksoa sekunnissa) ovat käänteisarvoja. T = 1/f. 0,5 Hz:n värähtely kestää yhden jakson 2 sekuntia.
- Heilurin jaksonaika riippuu amplitudista vain heikosti. Tarkka jaksonaika äärellisellä amplitudilla θ0 on T = T0·(1 + θ0²/16 + πθ0⁶/…). 15°:n kohdalla korjaus on 0,7 %, 30°:n kohdalla noin 1,7 % — alkeisongelmissa yleensä jätetään huomiotta.
- Doppler-siirtymä on sama, liikkuuko lähde vai havaitsija. Riippumatta siitä, liikkuuko lähde kohti paikallaan olevaa havaitsijaa vai havaitsija kohti paikallaan olevaa lähdettä samalla nopeudella, korkeuden muutos on identtinen (ei-relativistisesti).
- Resonanssi ei ole sama asia kuin suurin amplitudi. Resonanssi on ehto ωdrive = ωnatural. Vaimennuksen kanssa huippuamplitudi on vaimentamattoman arvon alapuolella; ilman vaimennusta amplitudi kasvaa rajatta (rajoittuu vain epälineaarisuuteen).
Liittyvät työkalut: Moderni fysiikka de Broglien aalloista ja aalto-hiukkas-dualismista, Sähkö ja piirit vaihtovirta-analyysiin, jossa LC-resonanssi sijaitsee, ja Optiikka ja valo sähkömagneettisille aalloille.
