Kaksi säilymislakia tekee raskaan työn: massan säilyminen antaa jatkuvuusyhtälön (Q = A·v, A1v1 = A2v2), energian säilyminen virtausviivaa pitkin antaa Bernoullin yhtälön (P + ½ρv² + ρgh = vakio). Kaikki muu — nostovoima, hydrostaattinen paine, vastus — on erikoistapaus tai seuraus.
Arkhimedeen nostovoima — syrjäytetty paino
Mikä tahansa nesteeseen upotettu kappale tuntee ylöspäin suuntautuvan voiman, joka on yhtä suuri kuin syrjäytetyn nesteen paino: Fb = ρ·V·g, missä ρ on nesteen tiheys, V syrjäytetty tilavuus ja g putoamiskiihtyvyys. Oletusnäyte (ρ = 1000 kg/m³ makea vesi, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) antaa Fb ≈ 98,1 N — 10 kg:n veden paino. Juuri siksi 10 kg:n puupalikka (tiheys 700 kg/m³) jää puoliksi veden alle: puolet tilavuudesta syrjäyttää puolet painostaan. Kappale kelluu, kun sen keskimääräinen tiheys on pienempi kuin nesteen; uppoaa, kun se on suurempi; ja on tasapainossa juuri yhtä suurella tiheydellä. Kaasuille sama suhde pätee, kun ρ on noin 1,2 kg/m³ merenpinnan tasolla, minkä vuoksi heliumilmapallo nostaa vain noin 1 gramman litrassa — tiheysero on pieni.
Hydrostaattinen paine — pylvään paino
Staattisessa nesteessä paine kasvaa lineaarisesti syvyyden mukana: P = P0 + ρg·h, missä P0 on pinnan paine (ilmanpaine, 101,325 Pa merenpinnan tasolla). Oletusnäyte (20 m makeaa vettä) antaa mittapaineeksi ρg·h = 196,200 Pa ja kokonaispaineeksi 297,525 Pa (noin 2,94 atm, 2,98 bar). Paine riippuu vain syvyydestä ja nesteen tiheydestä, ei astian muodosta — ”hydrostaattinen paradoksi” — koska jokaisella syvyydessä h olevalla nesteen alkeisosalla on yläpuolellaan sama painopylväs. Pascalin periaate: suljettuun nesteeseen kohdistettu paineen muutos siirtyy vähentymättä kaikkiin osiin, minkä vuoksi hydrauliset nostimet kertovat voiman: pieni voima pienellä männällä tuottaa saman paineen, joka työntää ylös suurta mäntää suurella voimalla.
Bernoulli — energia virtausviivaa pitkin
Vakaalle, kokoonpuristumattomalle ja viskositeetittömälle virtaukselle energia tilavuusyksikköä kohti säilyy minkä tahansa virtausviivan varrella: P + ½ρv² + ρgh = vakio. Oletusnäyte alkaa ilmanpaineesta, v1 = 2 m/s, h1 = 10 m, ja päättyy v2 = 4 m/s, h2 = 5 m — paneeli palauttaa P2 ≈ 144,375 Pa vakion ollessa noin 201,425 Pa. Korkeuden lasku lisää potentiaalipainetta; nopeuden nousu poistaa staattista painetta. Tämä on periaate venturiputken takana (putken kaventuma nopeuttaa virtausta ja laskee painetta), kaasuttimen takana (ilmakanavan kurkku laskee painetta ja imee polttoaineen), lentokoneen siiven takana (yläpinta kiihdyttää ilmaa, mikä laskee sen painetta ja nostaa siiven) ja pitot-putken takana (painero mittaa nopeuden). Bernoulli pettää aina, kun virtaus ei ole vakaa, kokoonpuristumaton tai viskositeetitön — erityisesti suurilla Reynoldsin luvuilla, joissa turbulenssi tekee paineesta kohinaista ja kaava keskiarvoistaa ajan suhteen. Siiven nosto on pääosin Newtonin kolmannen lain seuraus — ilmavirran taivuttaminen alaspäin — ja Bernoullin painero on kirjanpitoa, ei syy.
Virtausnopeus — kuinka paljon sekunnissa
Tilavuusvirtausnopeus on Q = A·v, missä A on poikkipinta-ala ja v keskinopeus. Oletusnäyte (A = 0,05 m², v = 3 m/s) antaa Q = 0,15 m³/s = 150 L/s eli 9 m³ minuutissa. Kokoonpuristumattomalle virtaukselle vaihtelevassa putkessa massan säilyminen pakottaa A1·v1 = A2·v2: poikkipinnan puolittaminen kaksinkertaistaa nopeuden. Siksi puutarhaletku, jonka päähän on painettu peukalo, ampuu pidemmälle, ja siksi joen kaventuminen koskessa nopeuttaa vettä. Jatkuvuussääntö pätee paikallisesti joka hetki; nopeus ei ”muista” aiempia osia. Kokoonpuristuvalle virtaukselle (kaasuputkistot, suihkumoottorit) oikea invariantti on massavirta ρA·v, joka on vakio, kun nestettä ei lisätä eikä poisteta.
Stokesin vastus — laminaarivirtauksen pää nesteen vastuksessa
Säteeltään r olevalle pallolle, joka liikkuu hitaasti viskositeetiltään μ olevassa nesteessä, vastusvoima on Fd = 6πμr·v. Oletusnäyte (μ = 0,001 Pa·s vesi, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) antaa Fd ≈ 9,42×10−5 N (noin 94 μN). Suhde on lineaarinen v:n suhteen, koska matalalla Reynoldsin luvulla jälkivirtaus on symmetrinen ja viskositeetti hallitsee; pallon vastusta vastaan tekemä työ menee nesteen viskoosiseen lämmitykseen. Stokesin vastus toimii vain, kun Re < 1 — 1 cm:n pallolle vedessä tämä tarkoittaa nopeuksia alle noin 10−4 m/s. Suuremmilla nopeuksilla vastuskerroin muuttuu likimain vakioksi ja voima skaalautuu v²:n eikä v:n mukaan. Stokesin vastus säätelee pölyn laskeutumista ilmassa, bakteerien uintia ja hienon sedimentin putoamista vedessä.
Reynoldsin luku — järjestys vastaan kaaos
Dimensioton suhde Re = ρvL/μ vertaa hitausvoimia viskositeettivoimiin. Oletusnäyte (vesi, v = 1 m/s, L = 0,1 m) antaa Re ≈ 100 000, selvästi turbulenttiselle alueelle. Empiirisesti: Re < noin 2 000 tarkoittaa laminaarista virtausta (sileä, ennustettava, yhdensuuntaiset virtausviivat); Re > noin 4 000 tarkoittaa turbulenttista (kaoottinen, sekoittuva, pyörteinen); näiden väliin jäävä kapea alue on siirtymäaluetta. Veren virtaus aortassa (Re noin 4 000) on rajalla; kapillaareissa (Re noin 0,001) se on selvästi laminaarista ja Stokesin vastus pätee. Lentokoneen siiven ympärillä ilma on tarkoituksella turbulenttista, jotta virtauksen irtoaminen viivästyy. Reynoldsin luku on syy siihen, miksi putkilla on ”kriittinen nopeus”, jonka yläpuolella pumppauksen kustannukset hyppäävät, ja miksi kynttilän savu nousee sileänä laminaarisena pylväänä muutaman senttimetrin ennen kuin hajoaa kaoottisiksi kiemuroiksi.
Yleisiä väärinkäsityksiä
- Arkhimedeen voima syntyy siitä, että pohja työntää ylöspäin. Se saadaan paineen integraalina koko kostutetulla pinnalla. Paine on suurempi pohjalla, mutta myös sivujen osuudet ovat nollasta poikkeavia, ja nettotulos on täsmälleen syrjäytetyn nesteen paino — minkä vuoksi astian geometria ei muuta vastausta.
- Lentokoneen siivet nostavat, koska yläpinta on pidempi ja ilman ”on pakko saada kiinni”. Nosto syntyy kiertymän ja siiven muodon aiheuttamasta paine-erosta; yhtä aikaa kulkeminen on kansanomainen johtopäätös, joka antaa oikean numeerisen tuloksen väärästä syystä. Matalan nopeuden siivillä hallitseva mekanismi on painejakauma, ei mikään ”kiihtyminen yläpuolella”.
- Stokesin laki toimii millä tahansa nopeudella. Vain kun Re < 1. 1 cm:n teräskuula, joka putoaa vedessä, saavuttaa Re = 1:n muutaman kymmenesosan millimetrin sekuntinopeudella; sen yläpuolella jälkivirtaus muuttuu epäsymmetriseksi ja vastus kasvaa kohti v²-käyttäytymistä. Stokes aliarvioi vastuksen kaikelle, mikä muistuttaa marmorikuulaa.
- Paine työntää aina ulospäin nesteestä. Paine on staattisessa nesteessä isotrooppista: se työntää yhtä voimakkaasti joka suuntaan. Upotetun pinnan ”alhaalta työntö” on vain saman paineen alaspäin suuntautuva komponentti, joka työntää sivuttain ja ylöspäin jokaista neliösenttimetriä.
Liittyvät työkalut: Mekaniikka voimaan, työhön ja energiaan, Termodynamiikka kokoonpuristuvaan virtaukseen ja kaasudynamiikkaan sekä Yksikkömuunnin Pa:n, barin, atmosfäärin ja psi:n välillä vaihtamiseen.
