Vektorilaskin

2D- ja 3D-vektorioperaatiot reaaliaikaisella Canvas-nuolivisualisoinnilla. Laske pistetulo, ristitulo, kulma, suuruus, yksikkövektori sekä vektorien yhteenlasku ja hajotus. Lisäksi: Mekaniikka | Piirit | Termodynamiikka.
Valitse operaatio:
x y
x y
Vektorioperaatiot: Pistetulo: A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz 3D:ssä). Ristitulo (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Kulma: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). Projektio: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Yksikkövektori: u = A/|A|. Suuruus: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Mitä vektorit ovat?

Vektori on suure, jolla on sekä suuruus että suunta: voima, nopeus, kiihtyvyys, liikemäärä, sähkö- ja magneettikentät, liikemäärämomentti. Skalaari taas on pelkkä luku: massa, aika, energia, lämpötila. Geometrisesti vektori piirretään nuolena, jonka pituus on suuruus ja kulma antaa suunnan; algebrallisesti se on järjestetty komponenttilista, kaksi tasossa ja kolme avaruudessa. Kuusi operaatiota kattaa lähes kaiken vektoreilla tehtävän: suuruus |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), yhteenlasku komponenteittain, pistetulo A·B = ΣAiBi, ristitulo A×B (vain 3D), kulma kaavasta cosθ = A·B/(|A||B|), ja yksikkövektori / projektio. Paneeli toteuttaa kaikki kuusi 2D:ssä ja 3D:ssä välittömällä Canvas-piirroksella visualisointia varten — kahden nuolen ja niiden summan tai tulon näkeminen on ero abstraktin manipuloinnin ja fysikaalisen intuition välillä.

Kolme tuloa tekee kaiken tarvitsemasi: pistetulo (skalaari, joka mittaa yhdensuuntaisuutta, A·B = |A||B|cosθ), ristitulo (vektori, joka on kohtisuorassa molempia syötteitä vastaan, suuruus |A||B|sinθ) ja projektio-operaattori (A:n komponentti valittua suuntaa pitkin). Ne ovat kirjanpitoa jokaiselle fysiikan kaavalle, jossa on enemmän kuin yksi vektori.
Suuruus ja 2D-perusesimerkki

3-4-5-suorakulmainen kolmio on 2D-vektorien perusesimerkki. Otetaan A = (3, 4). Sen suuruus on |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Sen suunta x-akselin +-suunnasta on arctan(4/3) ≈ 53,13°. Mikä tahansa 2D-vektori voidaan kirjoittaa suuruuden ja yksikkövektorin tulona, joka osoittaa siihen suuntaan: A = 5·(0,6, 0,8). Hajotuspaneeli ottaa suuruuden ja kulmat θ ja φ ja palauttaa komponentit x, y, z joko pallokoordinaattikäytännön mukaan (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) tai tasokäytännön mukaan (φ jätetään huomiotta, x = r cosθ, y = r sinθ). Kun r = 10 ja θ = 36,87° 2D-tilassa, tulos on (8, 6, 0) — 6-8-10-suorakulmainen kolmio, skaalattu alkuperäisestä 3-4-5:stä. Näiden kokonaislukukolmioiden tunnistaminen on oikotie sen havaitsemiseen, mitkä komponentit ovat kohtisuorassa, ilman trigonometriaa.

Pistetulo — skalaarinen suure yhdensuuntaisuudelle

Kahdelle vektorille A ja B pistetulo A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) on skalaari, joka on yhtä suuri kuin |A||B|cosθ — eli suuruuksien tulo kertaa niiden välisen kulman kosini. Oletus 2D-näyte (A = (3, 4), B = (5, 2)) antaa A·B = 15 + 8 = 23, suuruudet |A| = 5 ja |B| = √29 ≈ 5,385 sekä cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, joten θ ≈ 31,33°. Kolme merkkiseurausta kantavat koko tulkinnan: cosθ > 0 tarkoittaa terävää kulmaa ja vektorit osoittavat yleisesti samaan suuntaan; cosθ < 0 tarkoittaa tylppää kulmaa ja vektorit ovat vastakkain; cosθ = 0 tarkoittaa kohtisuoria. Pistetulo on voiman F tekemä työ siirtymää d pitkin (W = F·d), ja kosini selittää, miksi kulmassa työntäminen on vähemmän tehokasta kuin liikesuunnassa työntäminen.

Ristitulo — vektori, joka on kohtisuorassa molempia syötteitä vastaan

Ristitulo on pelkästään 3D:ssä määritelty operaatio, jonka tulos on vektori, kohtisuorassa molempia syötteitä vastaan; suuruus |A||B|sinθ ja suunta määräytyy oikean käden säännöllä (osoita etusormella A:n suuntaan, keskisormella B:n suuntaan, peukalo antaa A×B:n). Komponentteina A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Oletus 3D-näyte (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) antaa A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Ristitulo on antisymmetrinen: B×A = −A×B, joten syötteiden vaihtaminen kääntää merkin. Kolme esiintymää fysiikassa: vääntömomentti τ = r×F (pyörivä voima), liikemäärämomentti L = r×p (kiertoliikkeen liikemäärämomentti) ja magneettinen voima F = qv×B liikkuvaan varaukseen. Suuruus |A×B| on kahden vektorin virittämän suunnikkaan pinta-ala, minkä vuoksi ristitulon tulokset kuvaavat aina pinta-alaa tai pyörimistä. Vääntömomentti on ristitulo toiminnassa: τ = r×F:n suuruus on |r||F|sinθ, joten pivotin kautta työntäminen antaa nollan ja pidempi momenttiavain antaa enemmän.

Vektorien välinen kulma

Kun pistetulo ja suuruudet tunnetaan, kulma on yksi arkus-kosini: cosθ = A·B/(|A||B|), missä θ on välillä [0, π]. Pieni pistetulo suhteessa suuruuksiin tarkoittaa lähes kohtisuoria vektoreita; pistetulo, joka on yhtä suuri kuin |A||B|, tarkoittaa, että vektorit osoittavat samaan suuntaan (θ = 0); pistetulo, joka on yhtä suuri kuin −|A||B|, tarkoittaa vastakkaisia (θ = π). Kaava on sama 2D:ssä ja 3D:ssä — vain komponenttisummien ulottuvuus eroaa. Geometrisesti pistetulo voidaan nähdä A:n projektiona B:lle (tai B:n projektiona A:lle), kerrottuna toisen suuruudella, joten kosini on kirjaimellisesti projektiosuhde.

Yksikkövektori ja projektio

Yksikkövektori on vektori, jonka suuruus on 1 ja joka osoittaa samaan suuntaan kuin alkuperäinen: u = A / |A|. Yksikkövektoreilla kuvataan ”puhdasta suuntaa”; karteesisen koordinaatiston i-, j- ja k-kantavektorit ovat perusesimerkkejä, ja mikä tahansa 3D-suunta voidaan kirjoittaa niiden lineaarikombinaationa. A:n projektio B:lle (tai A:n komponentti B:n suuntaan) on projBA = (A·B / |B|²) · B — se A:n osa, joka on B:n suuntainen. Skalaariversio (A·B/|B|) on tämän projektion etumerkillinen pituus. Tästä syystä pistetulo on työkaava: siirtymän komponentti voiman suuntaan kerrottuna voiman suuruudella on tehty työ.

Väärinkäsitykset
  • Pistetulo on vektorien kertolaskua. Se on skalaaritulo — tuottaa luvun, ei vektoria. Vastaavasti ristitulo on vektoritulo. ”Kertolasku”-nimitys peittää sen, että niiden tulokset ovat täysin erilaisia.
  • Ristitulo on skalaari. 2D:ssä kohtisuoraa komponenttia kutsutaan joskus skalaariksi (determinantti axby − aybx), mutta 3D:ssä ristitulo on todellakin vektori. Sekä suuruus että suunta ovat fysikaalisesti merkityksellisiä.
  • Ristitulo on kommutatiivinen. Se on antikommutatiivinen: A×B = −B×A. Järjestyksellä on merkitystä — vääntömomentti r×F on vastakkaisessa mielessä kuin F×r.
  • Vektorilla on kiinteä sijainti. Vektorit ovat vapaita — niitä voi siirrellä sivulla muuttamatta niitä. Kiinteitä ovat niiden suuruus ja suunta; vain tietyt fysiikan vektorit (paikkavektorit, sähkökenttä pisteessä) ovat sidottuja sijaintiin.

Liittyvät työkalut: Mekaniikka vääntömomentille, työlle ja liikemäärämomentille yhteydessä, Pyörimisdynamiikka siihen, miten ristitulo rakentaa liikemäärämomentin, ja Piirit magneettiseen voimaan F = qv×B.