Jokainen mittaus on luku ja sen rehellinen seuralainen: kuinka varma voidaan olla? Tämä seuralainen koostuu kahdesta osasta — satunnaisvirheestä, jonka mittauksen toistaminen keskiarvoistaa pienemmäksi, ja systemaattisesta virheestä, harhasta, joka säilyy riippumatta siitä, kuinka monta kertaa mitataan. Minkä tahansa suureen rehellinen ilmoitus on siis x ± u(x), missä u on hyvin määritelty epävarmuus; ±-merkki on lyhennys sanoille ”suunnilleen tämä väli tällä todennäköisyydellä”. Tämän paneelin neljä laskinta kattavat käytännön työkalut: merkitsevien numeroiden laskemisen (kirjanpidon oikotie), epävarmuuksien etenemisen summissa, erotuksissa, tuloissa, osamäärissä ja potensseissa (virheiden laskenta), keskihajonnan (kuinka paljon data hajautuu) sekä GUM-tyyppisen yhdistetyn epävarmuuden useille riippumattomille komponenteille.
Kaksi virhetyyppiä, kaksi vastakkaista käyttäytymistä: satunnaisvirhe pienenee N:n neliöjuuren suhteessa (σ/√N), joten keskiarvoistaminen aina voittaa; systemaattinen virhe ei pienene lainkaan, minkä vuoksi kalibrointi on tärkeämpää kuin toistot. Mittauksella voi olla pieni σ ja se voi silti olla väärin harhan vuoksi.
Merkitsevät numerot — kirjanpidon oikotie
Merkitsevä numero on numero, joka tunnetaan varmasti; nollat, jotka täyttävät luvun jonkin koon sopimuksen mukaan, eivät ole. Viisi sääntöä: (1) kaikki nollasta poikkeavat numerot ovat merkitseviä, (2) nollat nollasta poikkeavien välissä ovat merkitseviä, (3) alkunollat eivät ole merkitseviä (ne vain sijoittavat desimaalipilkun), (4) desimaalipilkun jälkeiset loppunollat ovat merkitseviä, (5) loppunollat ilman desimaalipilkkua ovat epäselviä (käytä tieteellistä esitystapaa). Oletusarvo 0,0070800 on siis 5 merkitsevää numeroa (7, 0, 8, 0, 0) ja luetaan muodossa (7,0800 ± 0,00005)×10−3. 0,0070800:n ilmoittaminen tarkoittaa samaa tarkkuutta kuin 7,0800×10−3:n ilmoittaminen; 0,00708:n ilmoittaminen tarkoittaa tuhat kertaa vähäisempää tarkkuutta. Oikotie toimii oppikirjaraporteissa; todellisessa mittauksessa rehellinen luku on u, ja merkitsevät numerot ovat kätevä tapa ilmaista se kirjoittamatta ±-merkkiä joka kerta.
Virheen eteneminen — virheiden laskenta
Kun z = f(x, y), riippumattomien epävarmuuksien yhdistämissääntö on σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Neljälle käytännön laskutoimitukselle tämä yksinkertaistuu: yhteen- ja vähennyslasku lisää absoluuttiset virheet neliöllisesti σz = √(σx² + σy²); kerto- ja jakolasku lisää suhteelliset virheet neliöllisesti σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); potenssi xn skaalaa suhteellisen virheen kertoimella |n|: σz/z = |n|σx/x. Oletusnäyte (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, yhteenlasku) antaa z = 15 ja σz ≈ 0,36, eli 15,00 ± 0,36 (noin 2,4 % suhteellinen). Kun siirrytään kertolaskuun samoilla syötteillä, saadaan z = 50 ± 2,5 (5 % suhteellinen) — samat ±-arvot, hyvin erilainen etenemissääntö, ja tulon suhteellinen epävarmuus on suhteellisten epävarmuuksien neliöllinen summa. Absoluuttiset epävarmuudet ovat oikea valuutta summille ja erotuksille; suhteelliset epävarmuudet ovat oikea valuutta tuloille ja osamäärille.
Keskihajonta — datan hajonta
Keskihajonta σ on keskiarvosta poikkeamien juurineliöllinen keskiarvo. Kaksi versiota on olemassa sen mukaan, mitä data edustavat: populaatio-σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) kuvaa tunnetun joukon jokaisen jäsenen leviämistä; otoksen s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) arvioi suuremman populaation leviämistä, josta otos on otettu. Oletusnäyte (10 arvoa välillä 12,2–12,8, keskiarvo 12,5) antaa populaatio-σ ≈ 0,1732, otos-s ≈ 0,1826 ja SEM = s/√N ≈ 0,0577. Keskiarvon epävarmuus on itsessään σ/√N (tai s/√N otosversiolle), minkä vuoksi yhden suureen 25 mittauksen keskiarvoistaminen leikkaa epävarmuuden viidesosaan verrattuna yhteen mittaukseen. Keskihajonta syöttää myös luottamusvälejä: normaalijakaumassa ±1σ kattaa 68,3 %, ±2σ 95,5 % ja ±3σ 99,7 %.
Laajennettu epävarmuus — kaikkien lähteiden yhdistäminen
Kun mittauksella on useita riippumattomia virhelähteitä (laitteen erotuskyky, kalibrointi, toistettavuus, lämpötilan ajelehtiminen, käyttäjän vaikutus), GUM-tyyppinen yhdistetty epävarmuus on uc = √(Σui²). Lähteet luokitellaan tyyppiin A (tilastollinen, datasta) ja tyyppiin B (kaikki muu, jonka epävarmuudet arvioidaan harkinnalla tai valmistajan speksin mukaan); molemmat syöttävät uc:hen samalla tavalla. Kattavuuskerroin k skaalaa sitten välin valitulle luottamustasolle: k = 1 68,3 %:lle, k = 2 95,5 %:lle, k = 2,58 99,0 %:lle, k = 3 99,7 %:lle. Oletusnäyte (0,15; 0,08; 0,05; 0,03 mm lähdettä, k = 2) antaa uc ≈ 0,1797 mm ja U = k·uc ≈ 0,3595 mm 95,5 %:n tasolla. Ilmoitettu arvo on tällöin (mittaus ± 0,36) mm tällä luottamustasolla. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) on kansainvälinen standardi menettelylle. Tyypin A komponentit tulevat toistettujen lukemien tilastoista, tyypin B laitespekseistä ja harkinnasta — molemmat yhdistyvät samalla neliöllisellä summalla.
Yleisiä väärinkäsityksiä
- Enemmän merkitseviä numeroita tarkoittaa tarkempaa mittausta. Vain jos nämä numerot todella tulivat mittauksesta. Käsin kirjoitettu ”12,34567 m” ei ole yhden kymmenmiljoonasosan tarkkuudella oikea — merkitsevät numerot ovat tapa ilmaista tarkkuutta, eivät tapa keksiä sitä. ±-merkin ilmoittaminen on rehellisempää kuin keksittyjen numeroiden täyttäminen.
- Systemaattista virhettä voi vähentää keskiarvoistamalla. Päinvastoin: satunnaisvirheet keskiarvoistuvat 1/√N-suhteessa, mutta systemaattinen harha (väärin kalibroitu vaaka, väärin keskitetty nollapiste) pysyy paikallaan riippumatta siitä, kuinka monta mittausta tehdään. Tunnista harha ja keskiarvoista se. Tämä on vialliseen kokeeseen liittyvä ansa: ”data näyttävät niin toistettavilta!”.
- Keskihajonta kertoo yksittäisen mittauksen virheestä. Se kuvaa jakauman leviämistä, ei minkään yksittäisen kokeen virhettä. Keskiarvon keskivirhe (s/√N) on oleellinen suure, kun ilmoitetaan, kuinka hyvin x̄ tunnetaan N:n otoksesta.
- Epävarmuus on aina ± viimeisessä numerossa. Vakiintunut käytäntö on ”pyöristä epävarmuus yhteen (joskus kahteen) merkitsevään numeroon ja pyöristä arvo sen mukaiseksi”. Mittaus 12,345678 ± 0,234 ilmoitetaan muodossa 12,35 ± 0,23, ei muodossa 12,345678 ± 0,234.
Liittyvät työkalut: Tilastot taustalla oleviin todennäköisyysjakaumiin, Mekaniikka kokeellisiin asetelmiin, jotka tuottavat luvut, ja Laskin etenemisen algebraan.
