Viisi reaaliaikaista Canvas-animaatiota näyttää, miltä fysiikan yhtälöt näyttävät liikkeessä: pallon rata painovoimassa, yksinkertaisen heilurin heilunta ja kaksoisheilurin kaoottinen tanssi, kahden ympyräaallon interferenssikuvio, pistevarausten ympärillä olevat kenttäviivat sekä kolmen voiman monikulmiokoostumus. Matematiikka on sama kuin sivuston muissa kaavoissa; Canvas näyttää, miltä ratkaisu näyttää ajassa ja avaruudessa. Jokainen paneeli ottaa muutaman syötteen ja tuottaa joko numeerisen lukeman (heittoliike, voimien yhdistäminen, sähkökenttä) tai visuaalisen tuloksen (heiluri, aaltointerferenssi). Yhdessä ne muodostavat pienen laboratorion selaimessa, jossa parametria voi muuttaa ja tulos muuttuu välittömästi.
Simulaatiot ovat näkyviksi tehtyjä yhtälöitä: sama algebra, samat vakiot, samat reunaehdot — esitettynä animaationa, jossa parametreja voi muuttaa ja tulosta seurata. Niitä käytetään intuition rakentamiseen: muuttamalla laukaisukulmaa nähdään kantaman huipentuvan 45°:ssa, vaihtamalla varauksen merkkiä kenttäviivat kääntyvät, ja muuttamalla aallonpituutta interferenssikuvio kapenee tai leviää.
Heittoliike — perusparaabeli
Pallo, joka laukaistaan alkunopeudella v0 kulmassa θ korkeudesta h0, noudattaa parametrisia yhtälöitä x(t) = v0 cosθ · t ja y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t². Canvas piirtää radan lennon aikana ja ilmoittaa lopullisen kantaman, lentoajan ja suurimman korkeuden. Oletusnäyte (v0 = 25 m/s, θ = 45°, h0 = 0, Maan g = 9,81 m/s²) antaa lentoajan ≈ 3,604 s, kantaman ≈ 63,70 m ja suurimman korkeuden ≈ 15,929 m. Kun vaihdetaan Kuun esiasetukseen (g = 1,62), sama laukaisu saavuttaa ≈ 385,8 m ajassa ≈ 21,82 s — sama paraabeli, kuusi kertaa pidempi ja kauempana, juuri se, mikä tekee kuun urheilusta niin absurdia, ja mitä astronautti Alan Shepard hyödynsi improvisoidulla kuusirautaisellaan. Canvas piirtää radan uudelleen punaisella pisteellä, joka seuraa pallon sijaintia, ja nimeää kantaman ja suurimman korkeuden suoraan kaavioon.
Heiluri — harmoninen ja kaoottinen
Yksinkertainen heiluri, jonka pituus on L ja joka päästetään kulmasta θ, noudattaa yhtälöä θ″(t) = −(g/L) sinθ, joka integroidaan tässä puolittais-Eulerin menetelmällä. Pienillä amplitudeilla (sinθ ≈ θ) liike on harmonista värähtelyä jaksonajalla T = 2π√(L/g); oletus L = 1,5 m Maassa antaa T ≈ 2,458 s. Suuremmilla amplitudeilla jaksonaika kasvaa hieman, koska sinθ ei ole enää hyvä lineaarinen approksimaatio — 60°:n heilahdus on noin 7 % hitaampi kuin saman pituuden 5°:n heilahdus. Kaksoisheiluri on eri asia: kaksi jäykkää vartta, joiden päissä on massat, hallitaan kytkettyjen epälineaaristen yhtälöiden avulla, integroidaan samalla tavalla, mutta se osoittaa kaaosta. Pienet erot alkukulmassa johtavat hyvin erilaisiin ratoihin muutamassa jaksossa — deterministisen kaaoksen tunnusmerkki, minkä vuoksi kaksoisheiluri on oppikirjaesimerkki kaoottisesta mekaanisesta järjestelmästä. Vaihda pudotusvalikosta ”Yksinkertainen” ja ”Kaksoisheiluri”, jolloin toinen varsi ilmestyy ja ottaa alkukulman θ2; paina Käynnistä ja seuraa, miten heilahdus hajaantuu arvaamattomasti. Yksittäisen heilurin simulaatio vaimentaa myös jokaista kehystä (kerroin 0,9995), kuten todellinen heiluri menettää energiaa ilmanvastukseen ja tapin kitkaan.
Aaltointerferenssi — kahden lähteen superpositio
Kaksi pistelähdettä lähettää ympyräaaltoja samalla aallonpituudella λ; jokaisessa tason pisteessä syntyvä häiriö on näiden kahden summa. Missä kaksi harjaa saapuvat samassa vaiheessa, amplitudi kaksinkertaistuu (vahvistava interferenssi); missä toisen harjan ja toisen laakson kohtaavat, ne kumoavat toisensa (tuhoava interferenssi). Vahvistavan interferenssin ehto on r1 − r2 = mλ kokonaisluvulle m; tuhoavan ehto on r1 − r2 = (m + ½)λ. Canvas maalaa intensiteettikartan (kirkas = suuri amplitudi, tumma = kumoutuminen) ja piirtää solmuviivat, joissa r1 − r2 = mλ (katkoviivavaihtoehdolla). Oletusetäisyys (120 px = 3λ) näyttää selvät vuorottelevat kirkkaat ja tummat vyöt kohtisuoralla puolittajalla — sama kuvio, joka tuottaa kirkkaat ja tummat raidat Thomas Youngin kaksoisrakokokeessa ja öljykalvolta heijastuvan valon värilliset vyöt.
Sähkökenttäviivat — tiheys koodaa voimakkuuden
Pistevarauksen Q ympärillä sähkökenttä on säteittäinen vektori, jonka suuruus on E = kQ/r²; kahdelle varaukselle kentän vektorisumma on missä tahansa pisteessä Etotal = E1 + E2. Canvas jäljittää 16 kenttäviivaa lähdealueelta Euler-menetelmällä, askelpituudella 4 px paikallisen kentän suuntaan. Viivat lähtevät positiivisista varauksista (Q > 0) ja päättyvät negatiivisiin (Q < 0); oletusnäytteessä (Q1 = +5, Q2 = −3, |Q1·Q2| = 15) kuvio näyttää viivojen lähtevän vasemmalla olevasta punaisesta +-varauksesta, kaartuvan ulospäin, ja useimpien päättyvän oikealla olevaan siniseen −-varaukseen, muutaman karatessa äärettömyyteen (koska suuruudet ovat eriarvoiset). Kenttäviivojen tiheys on verrannollinen kentänvoimakkuuteen: tiiviit viivat merkitsevät vahvaa kenttää, harvat heikkoa. Molempien merkkien vaihtaminen kääntää viivojen suunnat muuttamatta geometriaa.
Voimien yhdistäminen — monikulmiomenetelmä
Kun kappaleeseen vaikuttaa useita voimia, resultantti on niiden vektorisumma, ei skalaarisumma. Monikulmio- (tai pää-häntä-) menetelmässä kukin voimavektori asetetaan peräkkäin alkupisteestä alkaen; resultantti R on vektori alkupisteestä viimeiseen kärkeen. Komponenteittain: Rx = ΣFi cosθi, Ry = ΣFi sinθi, |R| = √(Rx² + Ry²) ja θR = arctan(Ry/Rx). Canvas piirtää kunkin voiman värillisenä nuolena alkupisteestä (F1 punainen, F2 sininen, F3 vihreä), sitten katkoviivan violetti viiva alkupisteestä lopulliseen kärkeen resultantin esittämiseksi, sekä vaaleanharmaat monikulmion viivat, jotka jäljittävät reitin päästä päähän. Oletusnäyte (F1 = 30 N kulmassa 0°, F2 = 25 N kulmassa 60°, F3 = 15 N kulmassa 150°) antaa Rx ≈ 29,51 N, Ry ≈ 29,15 N, |R| ≈ 41,48 N ja θR ≈ 44,65° — suuruus on suurempi kuin mikään yksittäinen syöttövoima, koska suunnat vahvistavat toisiaan osittain.
Yleisiä väärinkäsityksiä
- Canvas näyttää todellisen fysiikan, ei luonnosta. Jokainen kuva lasketaan taustalla olevasta yhtälöstä (heilureille Euler-integrointi, aalloille superpositio, voimille vektorisumma). Kun syötteitä muutetaan, muutetaan laskentaa; animaatio on suora numeerinen visualisointi.
- Heilurin jaksonaika riippuu amplitudista. Pienillä amplitudeilla (alle noin 15°) jaksonaika on lähes amplitudista riippumaton ja yhtä kuin T = 2π√(L/g). Suuremmilla amplitudeilla jaksonaika kasvaa huomattavasti — 90°:n heilahdus kestää noin 18 % pidempään kuin pienen kulman kaava ennustaa. Isovanhempien kellon ”sekuntiheiluri” on suunniteltu pienelle heilahdukselle juuri siksi, että sen jaksonaika pysyy vakaana.
- Sähkökenttäviivat ovat todellisia. Ne ovat kentän visualisointi, eivät fyysisiä naruja. Todellinen sähkökenttä on vektori jokaisessa avaruuden pisteessä; viivat vain yhdistävät pisteitä, joissa kenttä on jatkuvasti tangentti. Viivaa ei voi ”tarttua”.
- Monikulmio- ja suunnikasmenetelmä antavat eri vastauksia. Ne antavat saman resultantin. Suunnikasmenetelmä toimii kahdelle voimalle; monikulmiomenetelmä yleistyy luontevasti mihin tahansa lukumäärään. Molemmat ovat vektorisumman vastaavia sovelluksia.
Liittyvät työkalut: Mekaniikka numeerisiin kinemaattisiin kaavoihin, Vektorilaskin komponenttihajotelmaan sekä pistetuloon ja ristitulon, Aallot ja värähtelyt täydellisiin etenevän aallon yhtälöihin, Sähkö ja piirit virran ja jännitteen vastineisiin sekä Optiikka ja valo aaltointerferenssin optiseen versioon (Youngin kaksoisrako).
