Setiap pengukuran adalah angka dengan pendamping yang jujur: seberapa yakin kita dapat? Pendamping itu memiliki dua bagian — kesalahan acak, yang dirata-ratakan dengan mengulangi pengukuran, dan kesalahan sistematis, bias yang bertahan berapa pun kali Anda mengukur. Laporan jujur dari suatu besaran karena itu berbentuk x ± u(x), dengan u adalah ketidakpastian yang terdefinisi dengan baik; simbol ± adalah singkatan dari "kira-kira rentang ini dengan probabilitas sebesar ini". Keempat kalkulator di panel ini mencakup alat kerjanya: menghitung angka penting (jalan pintas pembukuan), merambatkan ketidakpastian melalui penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pangkat (kalkulus kesalahan), simpangan baku (seberapa tersebar data), dan ketidakpastian gabungan gaya GUM dari beberapa komponen independen.
Dua jenis kesalahan, dua perilaku yang berlawanan: kesalahan acak menyusut dengan akar kuadrat N (σ/√N), sehingga rata-rata selalu menang; kesalahan sistematis sama sekali tidak menyusut, itulah sebabnya kalibrasi lebih penting daripada pengulangan. Suatu pengukuran dapat memiliki σ yang sangat kecil dan tetap keliru karena bias.
Angka penting — jalan pintas pembukuan
Angka penting adalah digit yang diketahui dengan yakin; nol yang mengisi bilangan agar sesuai dengan konvensi ukuran bukan. Lima aturan: (1) semua digit bukan nol adalah signifikan, (2) nol di antara bukan nol adalah signifikan, (3) nol di depan tidak signifikan (hanya menempatkan titik desimal), (4) nol di belakang setelah titik desimal adalah signifikan, (5) nol di belakang tanpa titik desimal bersifat ambigu (gunakan notasi ilmiah). Nilai default 0.0070800 karenanya memiliki 5 angka penting (7, 0, 8, 0, 0) dan dibaca sebagai (7.0800 ± 0.00005)×10−3. Menulis 0.0070800 berarti presisinya sama dengan menulis 7.0800×10−3; menulis 0.00708 berarti presisi yang seribu kali lebih rendah. Jalan pintas ini berfungsi untuk laporan buku teks; untuk pengukuran nyata, ketidakpastian u adalah angka yang jujur, dan angka penting adalah cara praktis untuk menyatakannya tanpa menulis ± setiap kali.
Propagasi kesalahan — kalkulus kesalahan
Untuk z = f(x, y), aturan menggabungkan ketidakpastian independen adalah σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Untuk empat operasi kerja, ini tereduksi menjadi: penjumlahan/pengurangan menjumlahkan kesalahan absolut secara kuadratur σz = √(σx² + σy²); perkalian/pembagian menjumlahkan kesalahan pecahan secara kuadratur σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); pangkat xn menskalakan kesalahan pecahan dengan |n|: σz/z = |n|σx/x. Contoh default (x = 10 ± 0.3, y = 5 ± 0.2, penjumlahan) menghasilkan z = 15 dan σz ≈ 0.36, atau 15.00 ± 0.36 (sekitar 2.4% relatif). Beralih ke perkalian dengan masukan yang sama memberikan z = 50 ± 2.5 (5% relatif) — nilai ± yang sama, aturan propagasi yang sangat berbeda, dan ketidakpastian relatif hasil kali sama dengan jumlah kuadratur ketidakpastian relatifnya. Ketidakpastian absolut adalah mata uang yang tepat untuk penjumlahan/pengurangan; ketidakpastian pecahan adalah mata uang yang tepat untuk perkalian/pembagian.
Simpangan baku — sebaran data
Simpangan baku σ adalah simpangan rata-rata kuadrat akar dari rata-rata. Ada dua versi tergantung pada apa yang diwakili data: σ populasi = √(Σ(xi − x̄)² / n) menggambarkan sebaran setiap anggota dari himpunan yang diketahui; s sampel = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) memperkirakan sebaran populasi yang lebih besar tempat sampel diambil. Contoh default (10 nilai dari 12.2 hingga 12.8 dengan rata-rata 12.5) menghasilkan σ populasi ≈ 0.1732, s sampel ≈ 0.1826, dan SEM = s/√N ≈ 0.0577. Ketidakpastian rata-rata itu sendiri adalah σ/√N (atau s/√N untuk versi sampel), itulah sebabnya merata-ratakan 25 pengukuran satu besaran memangkas ketidakpastian menjadi seperlima dibanding satu pengukuran. Simpangan baku juga menjadi dasar interval kepercayaan: untuk distribusi normal, ±1σ mencakup 68.3%, ±2σ 95.5%, ±3σ 99.7%.
Ketidakpastian lanjutan — menggabungkan semua sumber
Ketika suatu pengukuran memiliki beberapa sumber kesalahan independen (resolusi instrumen, kalibrasi, keterulangan, pergeseran suhu, efek operator), ketidakpastian gabungan gaya GUM adalah uc = √(Σui²). Sumber diklasifikasikan sebagai Tipe A (statistik, dari data) dan Tipe B (semua yang lain, dengan ketidakpastian yang diperkirakan dengan penilaian atau spesifikasi pabrikan); keduanya masuk ke uc dengan cara yang sama. Faktor cakupan k kemudian menskalakan interval ke tingkat kepercayaan yang dipilih: k = 1 untuk 68.3%, k = 2 untuk 95.5%, k = 2.58 untuk 99.0%, k = 3 untuk 99.7%. Contoh default (sumber 0.15, 0.08, 0.05, 0.03 mm, k = 2) menghasilkan uc ≈ 0.1797 mm dan U = k·uc ≈ 0.3595 mm pada 95.5%. Nilai yang dilaporkan menjadi (hasil pengukuran ± 0.36) mm dengan tingkat kepercayaan tersebut. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) adalah standar internasional untuk prosedur ini. Komponen Tipe A berasal dari statistik pembacaan berulang, Tipe B dari spesifikasi instrumen dan penilaian — keduanya digabungkan melalui penjumlahan kuadratur yang sama.
Kesalahpahaman umum
- Lebih banyak angka penting berarti pengukuran yang lebih akurat. Hanya jika digit-digit itu benar-benar berasal dari pengukuran. Panjang "12.34567 m" yang ditulis dengan tangan tidak akurat 1 bagian dalam 10 juta — angka penting adalah cara mengomunikasikan presisi, bukan cara menciptakannya. Melaporkan ± lebih jujur daripada mengisi dengan digit rekaan.
- Kesalahan sistematis dapat dikurangi dengan merata-ratakan. Kebalikannya: kesalahan acak turun sebagai 1/√N saat dirata-ratakan, tetapi bias sistematis (timbangan yang salah kalibrasi, nol yang tidak tepat di tengah) tetap ada berapa pun jumlah pengukuran yang Anda lakukan. Identifikasi dan koreksi bias. Ini adalah jebakan "datanya begitu bisa direproduksi!" dalam eksperimen yang rusak.
- Simpangan baku memberi tahu tentang kesalahan satu pengukuran. Ia mencirikan sebaran distribusi, bukan kesalahan dari satu percobaan. Kesalahan baku rata-rata (s/√N) adalah besaran yang relevan ketika melaporkan seberapa baik kita mengetahui x̄ dari sampel berukuran N.
- Ketidakpastian selalu ± pada digit terakhir. Konvensi baku adalah "bulatkan ketidakpastian menjadi satu (kadang dua) angka penting, lalu bulatkan nilainya agar sesuai". Pengukuran 12.345678 ± 0.234 harus dilaporkan sebagai 12.35 ± 0.23, bukan 12.345678 ± 0.234.
Alat terkait: Statistik untuk distribusi probabilitas yang mendasarinya, Mekanika untuk pengaturan eksperimen yang menghasilkan angka-angka itu, dan Kalkulator untuk aljabar propagasi.
