Kalkulator Gelombang & Osilasi

Osilasi dan gelombang adalah fisika dasar yang sama dengan kostum berbeda. Osilasi adalah apa pun yang bergerak maju-mundur di sekitar posisi kesetimbangan — massa pada pegas, beban bandul, tegangan di seluruh kapasitor, tinggi senar gitar, tekanan di dalam gelombang suara. Gelombang adalah osilasi yang merambat: gerak maju-mundur yang sama, tetapi kini terjadi pada waktu yang sedikit berbeda di setiap titik dalam ruang, sehingga potret sesaat menampilkan pola sinusoidal yang merambat. Keduanya diatur oleh satu persamaan diferensial, osilator harmonik sederhana (GHS) x''(t) = -ω²x(t), yang solusi umumnya adalah sinusoid x(t) = A cos(ωt + φ). Dari sana, periode T = 2π/ω, frekuensi f = ω/(2π), kecepatan puncak v_max = Aω, percepatan puncak a_max = Aω². Enam panel di halaman ini mencakup kasus kanonik: GHS itu sendiri, bandul sebagai jam, persamaan gelombang v = fλ untuk gelombang berjalan, pergeseran Doppler ketika sumber atau pengamat bergerak, resonansi LC sebagai analog listrik dari massa pada pegas, dan frekuensi layangan ketika dua nada berdekatan berinterferensi.

GHS adalah gerak apa pun yang gaya pemulih (atau torsi, atau tegangan, atau selisih tekanan) sebanding dengan simpangan dari kesetimbangan. Massa pada pegas adalah kasus buku teks: F = -kx menghasilkan x'' = -(k/m)x, sehingga ω = √(k/m). Posisi pada waktu mana pun adalah x(t) = A cos(ωt + φ), kecepatan v(t) = -Aω sin(ωt + φ), percepatan a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Dengan contoh (A = 0.1 m, ω = 6.28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1.0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0.9995 Hz, v_max = Aω = 0.628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3.9438 m/s². Jika Anda juga memasukkan waktu t, kalkulator melaporkan x(t), v(t), a(t) sesaat — tiga sinusoid yang berbeda fase 90°. GHS muncul dalam kisi atom (tempat ia memodelkan fonon), dalam rangkaian AC (tempat tegangan dan arus berosilasi sinusoidal pada ω = 2πf), dan dalam setiap getaran kecil di sekitar kesetimbangan.

Bandul dengan panjang L yang berayun di bawah gravitasi g pada sudut kecil (θ < ~15°) memenuhi persamaan GHS dengan ω = √(g/L). Periodenya adalah T = 2π√(L/g) yang terkenal, yang pertama kali dicatat Galileo bahwa tidak bergantung pada massa beban maupun seberapa jauh ia diayunkan. Dengan L = 1 m dan g = 9.81 m/s² (Bumi), T ≈ 2.006 s, "bandul detik" kanonik yang memberi meter definisi aslinya (setengah periode = 1 s). Di Bulan, dengan g = 1.62 m/s², bandul 1 m yang sama memerlukan T ≈ 4.94 s; di Mars (g = 3.72 m/s²), T ≈ 3.26 s. Di atas amplitudo ~15° pendekatan sudut kecil mulai menyimpang dan suku koreksi masuk, itulah sebabnya jam kakek sungguhan menggunakan bandul panjang yang lambat (amplitudo rendah) alih-alih yang pendek dan cepat. Massa beban saling meniadakan dalam √(g/L): beban berat dan ringan pada tali yang sama mempertahankan periode yang identik.

Setiap gelombang berjalan, baik suara, cahaya, air, maupun seismik, mematuhi relasi fundamental yang sama: v = fλ — kecepatan gelombang sama dengan frekuensi kali panjang gelombang. Tiga mode di sini menyelesaikan satu besaran tak diketahui apa pun jika dua lainnya diberikan. Contoh (f = 440 Hz, λ = 0.78 m) menghasilkan v = 343.2 m/s — tepat kecepatan suara di udara pada 20°C. Tiga kecepatan acuan menjadi jangkar orde besaran: suara di udara ~343 m/s, suara di air ~1480 m/s, cahaya di ruang hampa c = 3×10⁸ m/s. Untuk mengubah gelombang dari satu medium ke medium lain Anda menggunakan hukum Snell (dibahas di halaman optik) untuk refraksi, tetapi di dalam satu medium homogen v ditentukan oleh sifat medium (kerapatan dan kekakuan untuk suara, permitivitas dan permeabilitas untuk cahaya).

Efek Doppler adalah perubahan frekuensi yang teramati ketika sumber dan pengamat bergerak relatif satu sama lain. Rumus klasiknya adalah f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), dengan tanda atas di pembilang diambil ketika pengamat bergerak menuju sumber (mendengar nada lebih tinggi) dan tanda bawah di penyebut ketika sumber bergerak menuju pengamat (tetap mendengar nada lebih tinggi). Contoh (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, sumber diam, pengamat bergerak menuju sumber dengan 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087.46 Hz, pergeseran +87.46 Hz atau +8.75%. Sumber 30 m/s yang sama bergerak menuju pendengar diam memberikan jawaban yang sama (rumusnya simetris). Pada kecepatan tinggi koreksi relativistik menjadi signifikan; untuk pistol radar yang mengukur mobil dengan 30 m/s faktor γ berbeda dari 1 hanya sekitar 5×10⁻¹⁷, itulah sebabnya rumus klasik cukup untuk suara tetapi cahaya memerlukan versi relativistik.

Rangkaian LC (induktor L paralel dengan kapasitor C) adalah analog listrik dari massa pada pegas: muatan berperan sebagai simpangan, arus sebagai kecepatan, induktansi L sebagai massa, dan 1/C sebagai kekakuan pegas. Muatan berosilasi pada ω = 1/√(LC), atau setara f = 1/(2π√(LC)). Contoh (L = 100 mH, C = 10 μF) memberikan LC = 1×10⁻⁶, √(LC) = 1×10⁻³, sehingga f ≈ 159.15 Hz dengan frekuensi sudut ω ≈ 1000 rad/s dan periode T ≈ 6.28×10⁻³ s. Rangkaian LC nyata juga memiliki resistansi, yang menyebabkan osilasi meluruh — laju peluruhan itulah yang diminimalkan penala radio AM untuk memilih stasiun dengan bersih. Menambahkan sumber penggerak tepat pada f memaksa rangkaian masuk ke resonansi, dengan amplitudo tegangan dan arus jauh lebih besar daripada di luar resonansi.

Ketika dua nada dengan frekuensi sedikit berbeda dimainkan bersamaan, tekanan udara adalah jumlah dari dua sinusoid — yang menurut trigonometri sama dengan kosinus pada frekuensi rata-rata f_p = (f₁ + f₂)/2 yang dimodulasi oleh amplop lambat pada f_beat = |f₁ − f₂|. Telinga mendengar nada rata-rata yang membesar dan mengecil pada laju layangan. Contoh (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) menghasilkan f_beat = 5 Hz, f_p = 442.5 Hz, periode layangan = 0.2 s — denyutan yang jelas terdengar 5 kali per detik. Di bawah ~10 Hz layangan terdengar sebagai denyut yang terpisah; di atas ~30 Hz mereka menyatu menjadi kekasaran atau tremolo. Penala piano memanfaatkan ini: mereka memukul nada acuan dan senar yang sedang disetel, mendengarkan layangan, dan menyesuaikannya sampai layangan hilang. Ketika senar sudah tepat selaras, f_beat = 0 dan kalkulator melaporkan "Frekuensi identik — tidak ada layangan".

• Periode dan frekuensi tidak sama. T (detik per siklus) dan f (siklus per detik) adalah kebalikan. T = 1/f. Osilasi 0.5 Hz memerlukan 2 detik untuk menyelesaikan satu siklus.
• Periode bandul hanya sedikit bergantung pada amplitudo. Periode eksak untuk amplitudo berhingga θ₀ adalah T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Untuk 15° ini adalah koreksi 0.7%, untuk 30° sekitar 1.7% — biasanya diabaikan dalam soal pengantar.
• Pergeseran Doppler sama untuk sumber atau pengamat yang bergerak. Baik sumber bergerak menuju pengamat diam maupun pengamat bergerak menuju sumber diam dengan kecepatan yang sama, pergeseran nadanya identik (non-relativistik).
• Resonansi tidak sama dengan amplitudo maksimum. Resonansi adalah kondisi ω_drive = ω_natural. Dengan redaman, amplitudo puncak berada di bawah nilai tanpa redaman; tanpa redaman, amplitudo tumbuh tanpa batas (hanya dibatasi oleh nonlinearitas).

Alat terkait: Fisika Modern untuk gelombang de Broglie & dualitas gelombang-partikel, Listrik & Rangkaian untuk analisis AC tempat resonansi LC berada, dan Optik & Cahaya untuk gelombang elektromagnetik.