Kalkulator Vektor

Operasi vektor 2D & 3D dengan visualisasi panah Kanvas waktu nyata. Hitung hasil kali titik, hasil kali silang, sudut, besar, vektor satuan, dan penjumlahan/dekomposisi vektor. Juga: Mekanika | Rangkaian | Termodinamika.
Pilih operasi:
x y
x y
Operasi Vektor: Hasil kali titik: A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz untuk 3D). Hasil kali silang (3D): A×B = (AyBz-AzBy, AzBx-AxBz, AxBy-AyBx). Sudut: θ = arccos(A·B/(|A||B|)). Proyeksi: proj_BA = (A·B/|B|²) B. Vektor satuan: u = A/|A|. Besar: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²).
Apa itu vektor?

Sebuah vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah: gaya, kecepatan, percepatan, momentum, medan listrik dan magnet, momentum sudut. Sebaliknya, skalar hanyalah angka: massa, waktu, energi, suhu. Secara geometris vektor digambar sebagai panah yang panjangnya adalah besarnya dan sudutnya memberikan arah; secara aljabar ia adalah daftar komponen terurut, dua di bidang dan tiga di ruang. Enam operasi mencakup hampir semua yang Anda lakukan dengan vektor: besar |A| = √(Ax² + Ay² + Az²), penjumlahan komponen demi komponen, hasil kali titik A·B = ΣAiBi, hasil kali silang A×B (hanya 3D), sudut dari cosθ = A·B/(|A||B|), dan vektor satuan / proyeksi. Panel mengimplementasikan keenamnya dalam 2D dan 3D dengan plot Kanvas langsung untuk visualisasi — melihat dua panah dan jumlah atau hasil kalinya adalah perbedaan antara manipulasi abstrak dan intuisi fisik.

Tiga hasil kali melakukan semua yang Anda butuhkan: hasil kali titik (skalar yang mengukur keselarasan, A·B = |A||B|cosθ), hasil kali silang (vektor tegak lurus terhadap kedua masukan, besarnya |A||B|sinθ), dan operator proyeksi (komponen A sepanjang arah yang dipilih). Ketiganya adalah pembukuan setiap rumus fisika yang melibatkan lebih dari satu vektor.
Besaran dan contoh kanonik 2D

Segitiga siku-siku 3-4-5 adalah contoh kanonik untuk vektor 2D. Ambil A = (3, 4). Besarnya adalah |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Arahnya dari sumbu +x adalah arctan(4/3) ≈ 53.13°. Vektor 2D apa pun dapat ditulis sebagai besar dikali vektor satuan yang menunjuk ke arah itu: A = 5·(0.6, 0.8). Panel dekomposisi menerima besar dan sudut θ dan φ dan mengembalikan komponen x, y, z di bawah konvensi bola mana pun (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) atau bidang (dengan φ diabaikan, x = r cosθ, y = r sinθ). Untuk r = 10, θ = 36.87° dalam mode 2D ini mengembalikan (8, 6, 0) — segitiga 6-8-10, diskalakan dari 3-4-5 asli. Mengenali segitiga bilangan bulat ini adalah jalan pintas untuk melihat komponen mana yang tegak lurus tanpa memanggil trigonometri.

Hasil kali titik — ukuran skalar keselarasan

Untuk dua vektor A dan B, hasil kali titik A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) adalah skalar yang sama dengan |A||B|cosθ — yaitu, hasil kali besar dikali kosinus sudut di antara keduanya. Contoh 2D default (A = (3, 4), B = (5, 2)) menghasilkan A·B = 15 + 8 = 23, besar |A| = 5 dan |B| = √29 ≈ 5.385, dan cosθ = 23/(5 × 5.385) = 23/26.93 ≈ 0.854, sehingga θ ≈ 31.33°. Tiga konsekuensi tanda membawa seluruh interpretasi: cosθ > 0 berarti sudutnya lancip dan vektor umumnya menunjuk ke arah yang sama; cosθ < 0 berarti tumpul dan vektor berlawanan; cosθ = 0 berarti tegak lurus. Hasil kali titik adalah usaha yang dilakukan gaya F sepanjang perpindahan d (W = F·d), dan kosinus itulah sebabnya mendorong dengan sudut kurang efektif dibanding mendorong sepanjang garis gerak.

Hasil kali silang — vektor tegak lurus terhadap kedua masukan

Hasil kali silang adalah operasi khusus 3D yang hasilnya adalah vektor tegak lurus terhadap kedua masukan, dengan besar |A||B|sinθ dan arah ditentukan oleh kaidah tangan kanan (arahkan jari telunjuk sepanjang A, jari tengah sepanjang B, ibu jari memberikan A×B). Dalam komponen, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Contoh 3D default (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) menghasilkan A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Hasil kali silang bersifat antisimetris: B×A = −A×B, sehingga menukar masukan membalik tanda. Tiga kemunculan dalam fisika: torsi τ = r×F (gaya rotasi), momentum sudut L = r×p (momentum sudut orbital), dan gaya magnet F = qv×B pada muatan yang bergerak. Besar |A×B| sama dengan luas jajar genjang yang direntang kedua vektor, itulah sebabnya hasil silang selalu menggambarkan luas atau rotasi. Torsi adalah hasil kali silang dalam aksi: τ = r×F memiliki besar |r||F|sinθ, sehingga mendorong melalui poros memberi nol dan kunci inggris yang lebih panjang memberi lebih banyak torsi.

Sudut antara vektor

Setelah Anda memiliki hasil kali titik dan besar, sudutnya adalah satu arc-kosinus: cosθ = A·B/(|A||B|), dengan θ dalam [0, π]. Hasil kali titik yang kecil relatif terhadap besarnya berarti vektor hampir tegak lurus; hasil kali titik sama dengan |A||B| berarti vektor menunjuk ke arah yang sama (θ = 0); hasil kali titik sama dengan −|A||B| berarti berlawanan (θ = π). Rumusnya sama dalam 2D dan 3D — hanya dimensi jumlah komponennya yang berbeda. Secara geometris, hasil kali titik dapat dipandang sebagai proyeksi A ke B (atau B ke A), dikalikan dengan besar yang lain, sehingga kosinus secara harfiah adalah rasio proyeksi.

Vektor satuan dan proyeksi

Vektor satuan adalah vektor dengan besar 1, menunjuk ke arah yang sama dengan aslinya: u = A / |A|. Vektor satuan adalah cara mendeskripsikan "arah murni"; vektor basis i, j, k dari koordinat Kartesius adalah contoh kanonik, dan arah apa pun di 3D dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari mereka. Proyeksi A ke B (atau komponen A sepanjang B) adalah projBA = (A·B / |B|²) · B — bagian dari A yang berada sepanjang B. Versi skalar (A·B/|B|) adalah panjang berarah dari proyeksi itu. Inilah yang membuat hasil kali titik menjadi rumus usaha: komponen perpindahan sepanjang gaya, dikali besar gaya, adalah usaha yang dilakukan.

Kesalahpahaman
  • Hasil kali titik adalah perkalian vektor. Ini adalah hasil kali skalar — menghasilkan angka, bukan vektor. Demikian pula hasil kali silang adalah hasil kali vektor. Menyebutnya "perkalian" menyembunyikan fakta bahwa keluarannya sama sekali berbeda.
  • Hasil kali silang adalah skalar. Dalam 2D komponen tegak lurus kadang disebut skalar (determinan axby − aybx), tetapi dalam 3D hasil kali silang sungguh-sungguh vektor. Besar dan arahnya keduanya bermakna secara fisik.
  • Hasil kali silang bersifat komutatif. Ia antikomutatif: A×B = −B×A. Urutan penting — torsi r×F berlawanan arah dengan F×r.
  • Vektor memiliki lokasi yang tetap. Vektor itu bebas — Anda dapat menggeser-geser di halaman tanpa mengubahnya. Yang tetap adalah besar dan arahnya; hanya vektor tertentu dalam fisika (vektor posisi, medan listrik pada suatu titik) yang terikat pada lokasi.

Alat terkait: Mekanika untuk torsi, usaha, dan momentum sudut dalam konteks, Dinamika Rotasi untuk bagaimana hasil kali silang membentuk momentum sudut, dan Rangkaian untuk gaya magnet F = qv×B.