Kalkylator för rotation & vridmoment

Rotation är kinematiken och dynamiken för saker som snurrar — hjul, kugghjul, planeter, molekyler, orkaner. Bokföringen är nästan rad för rad parallell med den linjära versionen: linjär förflyttning blir vinkelförflyttning θ (radianer), linjär hastighet blir vinkelhastighet ω (rad/s), linjär acceleration blir vinkelacceleration α (rad/s²), massa blir tröghetsmoment I (kg·m²) och kraft blir vridmoment τ (N·m). Newtons andra lag får sin rotationsform τ = I·α, och rörelsemängdsmomentet L = I·ω bevaras när inget yttre vridmoment verkar, precis som linjär rörelsemängd bevaras när ingen yttre kraft verkar. De sex kalkylatorerna på denna panel täcker de praktiska formlerna: centripetalkraft för cirkulär rörelse, enhetsomvandling för vinkelhastighet, vridmoment, tröghetsmoment för vanliga former, rörelsemängdsmoment med rotationsrörelseenergi och centrifugal-pseudokraften i roterande referensramar.

Varje föremål som rör sig i en cirkel ändrar riktning, vilket är acceleration, vilket kräver kraft — riktad mot mitten. Storleken är F = mv²/r = mω²r. Standardexemplet (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) ger F = 50 N och centripetalacceleration 50 m/s² (≈ 5 g), med vinkelhastigheten 5 rad/s (≈ 47,75 RPM). Kraften är verklig — för en boll på ett snöre är det snörets spänning; för en bil i en kurva är det friktionen mellan däck och väg; för en satellit i bana är det gravitationen. Tar man bort kraften (snöret går av, däcken tappar greppet) flyger föremålet iväg tangentiellt, inte radiellt utåt: den utåtpressning man känner i en svängande bil är centrifugal-pseudokraften i den roterande referensramen, inte centripetalkraften i den tröghetsbaserade referensramen.

Samma roterande föremål kan beskrivas i varv per minut (RPM), i radianer per sekund (rad/s, SI-enheten), i varv per sekund (Hz) eller i grader per sekund. Standardexemplet (1200 RPM) blir ω ≈ 125,66 rad/s, 7 200 grader/s eller 20 Hz, med en period på 0,05 s per varv. Sambanden: ω = 2πf = 2π n/60 där n är RPM; faktorn 2π omvandlar varv till radianer och 60 omvandlar minuter till sekunder. Dessa enhetsomvandlingar spelar mindre roll i läroboksarbete än i motorer och elmotorer, där RPM är mätarvisningen och vridmoment (i N·m) är den nyttiga utgången.

Vridmoment är den rotationsmässiga motsvarigheten till kraft: τ = r·F·sinθ, där r är hävarmens längd, F den påförda kraften och θ vinkeln mellan dem. Standardexemplet (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) ger τ = 15 N·m. Faktorn sinθ innebär att kraften är som mest effektiv vid 90° (vinkelrät mot hävarmen); att trycka rakt längs hävarmen (θ = 0 eller 180°) ger noll vridmoment, oavsett hur hårt man trycker. Det är därför en skruvnyckel vrider en bult lättast när man trycker vinkelrätt mot handtaget, och varför ett längre handtag ger mer vridmoment vid samma påförda kraft — vilket också är varför skruvnycklar, dörrhandtag och ratten är större än axlarna de vrider.

Tröghetsmomentet är den rotationsmässiga motsvarigheten till massa, och det beror på hur massan är fördelad kring axeln. För en massiv sfär med massa m och radie R gäller I = (2/5)mR²; för en massiv skiva eller cylinder kring sin mittaxel är I = (1/2)mR²; för en tunn ring eller ett tunt hjul är I = mR²; för en homogen stång kring sitt mittpunkt är I = (1/12)mL². Standardexemplet (massiv sfär, m = 2 kg, R = 1 m) ger I = 0,8 kg·m². Den praktiska konsekvensen är att en ring är svårare att snurra än en skiva av samma massa och radie (all massa sitter vid kanten), och ett ihåligt klot är svårare att snurra än ett massivt. Ju längre massan är från axeln, desto större I — vilket är varför en konståkare som drar in armarna accelererar: I minskar, ω ökar, och L = Iω förblir konstant.

Rörelsemängdsmomentet är L = Iω, i kg·m²/s; den rotationsmässiga rörelseenergin är KE = ½Iω². Standardexemplet (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) ger L = 50 kg·m²/s och KE = 250 J. Bevarandelagen är densamma som för linjär rörelsemängd: när inget yttre vridmoment verkar förblir L konstant. En snurra fortsätter snurra så länge friktionen (ett yttre vridmoment) är liten; en fritt kretsande planet bevarar rörelsemängdsmomentet genom att svepa över lika areor på lika tider (Keplers andra lag). Den samlade utsagan är varför gyroskop motsätter sig lutning: att ändra riktningen på L kräver ett vridmoment, och ett snabbt snurrande gyro har så mycket L att små vridmoment knappt avlänkar det.

Inuti en roterande referensram känner ett föremål som är i vila en fiktiv utåtriktad kraft lika med den centripetalkraft det skulle behöva för att hållas kvar på cirkeln. Storleken är F = mω²r, identisk med centripetalformeln. Standardexemplet (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) ger F = 150 N utåt, en tangentiell hastighet på 15 m/s och en g-kraft på cirka 152,91 g. Pseudokraften finns inte i en tröghetsbaserad (icke-roterande) referensram, där den inåtriktade kraften från repet eller väggen är centripetalkraften och det inte finns någon utåtpress alls. Centrifugalkraften är det som gör att vatten stannar i hinken under en vertikal sväng, det som centrifugerar kläder torra i en tvättmaskin, det som separerar blodkomponenter i en centrifug, och det som håller passagerare mot den yttre väggen i en roterande rymdstationskonstruktion. De två krafterna är per definition lika stora och motriktade.

• Centrifugalkraften är en verklig kraft som trycker utåt. Den är en fiktiv kraft som bara uppträder i en roterande (icke-tröghetsbaserad) referensram. I en tröghetsbaserad referensram är den enda kraften den inåtriktade centripetalkraften — det man upplever som "utåt" är tröghet som motsätter sig den inåtriktade dragningen.
• Rörelsemängdsmomentet håller en snurra igång för evigt. Rörelsemängdsmomentet bevaras endast när inget yttre vridmoment verkar. En snurra saktar ner eftersom friktionen vid spetsen är ett yttre vridmoment; ett friktionsfritt lager (ett hårt vakuum, en supraledare) kan låta ett hjul snurra i dagar, men aldrig för evigt.
• Tyngre föremål har större tröghetsmoment. Tyngre föremål av samma form gör det; men en ihålig ring och en massiv skiva av samma massa kan ha mycket olika moment, eftersom det är fördelningen som spelar roll, inte bara den totala massan.
• Ett föremål i cirkulär rörelse har ingen nettokraft. Det har noll nettokraft om det rör sig med konstant hastighet i en rak linje. En cirkulär bana innebär konstant acceleration mot mitten, vilket kräver en konstant inåtriktad kraft. Tar man bort kraften lämnar föremålet cirkeln.

Relaterade verktyg: Mekanik för den linjära dynamik som ligger under, Fluidmekanik för virvlar och roterande flöde, och Modern fysik för den kvantmekaniska rörelsemängden som visar sig i atomer.