Varje mätning är ett tal med ett ärligt följeslagare: hur säkra kan vi vara? Det följeslagaren har två delar — ett slumpmässigt fel, som upprepning av mätningen medelvärdesbildar bort, och ett systematiskt fel, en avvikelse som består oavsett hur många gånger man mäter. Den ärliga redovisningen av varje storhet är därför x ± u(x), där u är en väldefinierad osäkerhet; symbolen ± är en förkortning för "ungefär detta intervall med så stor sannolikhet". De fyra kalkylatorerna på denna panel täcker de praktiska verktygen: räkning av signifikanta siffror (bokföringsgenvägen), fortplantning av osäkerheter genom summor, differenser, produkter, kvoter och potenser (kalkylen för misstag), standardavvikelse (hur spridda data är) och GUM-liknande kombinerad osäkerhet för flera oberoende komponenter.
Två slags fel, två motsatta beteenden: slumpmässigt fel minskar med kvadratroten ur N (σ/√N), så medelvärdesbildning vinner alltid; systematiskt fel minskar inte alls, vilket är varför kalibrering är viktigare än upprepning. En mätning kan ha ett litet σ och ändå vara fel på grund av systematisk avvikelse.
Signifikanta siffror — bokföringsgenvägen
En signifikant siffra är en siffra som är känd med säkerhet; nollor som fyller ut ett tal till en storlekskonvention är det inte. Fem regler: (1) alla nollskilda siffror är signifikanta, (2) nollor mellan nollskilda siffror är signifikanta, (3) inledande nollor är inte signifikanta (de placerar bara decimalkommat), (4) avslutande nollor efter ett decimalkomma är signifikanta, (5) avslutande nollor utan decimalkomma är tvetydiga (använd exponentialform). Standardvärdet 0,0070800 har därför 5 signifikanta siffror (7, 0, 8, 0, 0) och läses som (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Att redovisa 0,0070800 innebär samma precision som att redovisa 7,0800×10−3; att redovisa 0,00708 innebär en tusendel så mycket precision. Genvägen fungerar för läroboksrapporter; för en verklig mätning är osäkerheten u det ärliga talet, och signifikanta siffror är ett bekvämt sätt att uttrycka den utan att skriva ± varje gång.
Felfortplantning — kalkylen för misstag
För z = f(x, y) är regeln för att kombinera oberoende osäkerheter σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². För de fyra arbetsoperationerna reduceras detta till: addition/subtraktion adderar absoluta fel i kvadratsumma σz = √(σx² + σy²); multiplikation/division adderar relativa fel i kvadratsumma σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); potens xn skalar det relativa felet med |n|: σz/z = |n|σx/x. Standardexemplet (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, addition) ger z = 15 och σz ≈ 0,36, eller 15,00 ± 0,36 (cirka 2,4 % relativt). Byter man till multiplikation med samma indata får man z = 50 ± 2,5 (5 % relativt) — samma ±-värden, mycket olika fortplantningsregel, och den relativa osäkerheten för produkten är lika med kvadratsumman av de relativa osäkerheterna. Absoluta osäkerheter är rätt valuta för summor och differenser; relativa osäkerheter är rätt valuta för produkter och kvoter.
Standardavvikelse — spridningen i data
Standardavvikelsen σ är det kvadratiska medelvärdet av avvikelserna från medelvärdet. Det finns två versioner beroende på vad datan representerar: populationens σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) beskriver spridningen för varje medlem i en känd mängd; stickprovets s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) skattar spridningen i den större population som stickprovet drogs ur. Standardexemplet (10 värden från 12,2 till 12,8 med medelvärde 12,5) ger populationens σ ≈ 0,1732, stickprovets s ≈ 0,1826 och SEM = s/√N ≈ 0,0577. Osäkerheten i medelvärdet självt är σ/√N (eller s/√N för stickprovsversionen), vilket är varför medelvärdesbildning av 25 mätningar av en storhet minskar osäkerheten med en faktor 5 jämfört med en enda. Standardavvikelsen används även för konfidensintervall: för en normalfördelning innehåller ±1σ 68,3 %, ±2σ 95,5 % och ±3σ 99,7 %.
Utökad osäkerhet — kombinera alla källor
När en mätning har flera oberoende felkällor (instrumentupplösning, kalibrering, repeterbarhet, temperaturdrift, operatörens inverkan) är den GUM-liknande kombinerade osäkerheten uc = √(Σui²). Källor klassificeras som typ A (statistiska, från data) och typ B (allt annat, med osäkerheter uppskattade genom bedömning eller tillverkarens specifikation); båda matas in i uc på samma sätt. En täckningsfaktor k skalar sedan intervallet till en vald konfidensnivå: k = 1 för 68,3 %, k = 2 för 95,5 %, k = 2,58 för 99,0 %, k = 3 för 99,7 %. Standardexemplet (källor 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) ger uc ≈ 0,1797 mm och U = k·uc ≈ 0,3595 mm vid 95,5 %. Det redovisade värdet blir (mätvärde ± 0,36) mm med den konfidensen. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) är den internationella standarden för förfarandet. Typ A-komponenter kommer från statistik över upprepade avläsningar, typ B från instrumentspecifikationer och bedömning — båda kombineras genom samma kvadratsumma.
Vanliga missuppfattningar
- Fler signifikanta siffror innebär en mer exakt mätning. Endast om dessa siffror verkligen kommer från mätningen. En längd på "12,34567 m" som skrivits för hand är inte exakt till 1 del på 10 miljoner — signifikanta siffror är ett sätt att kommunicera precision, inte ett sätt att skapa den. Att ange ± är ärligare än att fylla ut med påhittade siffror.
- Systematiskt fel kan minskas genom medelvärdesbildning. Tvärtom: slumpmässiga fel minskar som 1/√N, men en systematisk avvikelse (en felkalibrerad våg, en förskjuten nollpunkt) kvarstår oavsett hur många mätningar som görs. Identifiera och korrigera avvikelsen. Det är fällan i "datan ser så reproducerbar ut!" i ett trasigt experiment.
- Standardavvikelsen säger något om en enskild mätnings fel. Den karaktäriserar spridningen i fördelningen, inte felet i ett enskilt försök. Medelvärdets standardfel (s/√N) är den relevanta storheten när man redovisar hur väl x̄ är känt utifrån ett stickprov på N.
- Osäkerhet är alltid ± i sista siffran. Den vanliga konventionen är "avrunda osäkerheten till en (ibland två) signifikanta siffror, avrunda sedan värdet så att det stämmer överens". En mätning på 12,345678 ± 0,234 ska redovisas som 12,35 ± 0,23, inte 12,345678 ± 0,234.
Relaterade verktyg: Statistik för de underliggande sannolikhetsfördelningarna, Mekanik för de experimentuppställningar som ger talen, och Kalkylator för algebran i fortplantningen.
