Astrofysikkalkylator

Astrofysik är den del av fysiken som använder gravitation och rörelse som verktyg för allt från en måne till en galax. Sex kalkylatorer i denna panel besvarar de sex återkommande frågorna man kan ställa om en kropp eller bana: hur snabbt måste något kastas för att lämna systemet? Hur snabbt för att kretsa runt det? Hur lång tid tar ett varv? Hur litet måste samma massa kollapsa för att bli ett svart hål? Hur mycket delta-v får en raket per bränslefraktion? Och hur långt bort är en galax vars ljus är rödförskjutet? Allt annat — avstånd mätta med parallax mot jordens omloppsbana på en astronomisk enhet (AU = 1,496×10¹¹ m), magnituder som den logaritmiska rangordningen av ljusstyrka och rödförskjutning z ≈ v/c som den lågvelocitetsversionen av Hubbles lag — vilar på samma newtonska och relativistiska byggnadsställning.

Varje kropp med massa M och radie R skapar en potentialenergibrunn med djupet GM/R per massenhet. För att klättra ut ur ytan krävs rörelseenergi som åtminstone motsvarar detta djup, vilket ger flykthastigheten. Om vi sätter in jorden: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — panelen ger v_e ≈ 11 186 m/s (11,19 km/s, ungefär Mach 33). Mars landar på ≈ 5,03 km/s, månen på 2,38 km/s, Jupiter på 60 km/s (där väte är ett dåligt raketbränsle men matematiken är densamma), och solen på 618 km/s. Notera: formeln förutsätter inget luftmotstånd och ingen ytterligare framdrivning; det verkliga talet för någon raket inkluderar aerodynamiska förluster, gravitationsförlust under klättringen och styrförluster. Det är också hastigheten från vila vid ytan; ett objekt som redan är i omlopp behöver det mindre Δv för att fly från sin höjd, aldrig hela ytvärdet. Samma skalning ger ytvikten: på Mars (g = 3,71 m/s²) väger en astronaut på 70 kg 260 N — massan oförändrad, vikten följer lokal gravitation.

En stabil cirkulär bana balanserar centripetalacceleration mot gravitationen: v_o = √(GM/r). Panelens standardförinställning för jorden vid r = 7×10⁶ m (cirka 629 km höjd — ISS-området) ger v_o ≈ 7 546 m/s och en period på 5 829 s (~1,62 timmar). Den verkliga ISS ligger på ~408 km och kretsar på ~92,7 minuter; panelens höjd är ett illustrativt tal, inte ett flygschema. Sambandet ger också flykt — multiplicera v_o med √2 för att få v_e på samma höjd. Omloppshastigheten är oberoende av den kretsande massan; en fjäder och ett slagskepp i samma bana rör sig med samma hastighet (i vakuum), vilket är varför banmekaniken behandlar satelliter som punktpartiklar.

T² = (4π²/GM) · a³ kopplar omloppsperioden till den halva storaxeln. Panelens standardvärde för sol–jord (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU per definition) ger T ≈ 365,21 dagar, precis vårt års längd. Att lösa åt andra hållet — givet en period i sekunder, beräkna a — är så astronomer mäter den halva storaxeln för varje satellit vars period de kan ta tid på. Samma 1 AU-bas är också parsecens definition: en stjärna som uppvisar 1 bågsekund parallaxförskjutning mot bakgrunden när jorden sveper 2 AU är exakt 1 parsec = 3,26 ljusår bort — och 1 parsec = 206 265 AU. Kilometer och ljusår blir ohanterliga på interstellära skalor; parsec och AU är de arbetsenheter som används.

Om man komprimerar massan M under dess Schwarzschild-radie R_s = 2GM/c², kan ingen signal från insidan ta sig ut: det är horisonten för ett icke-roterande svart hål. Talen är förvånansvärt små för vanliga massor: jordens R_s är cirka 8,87 mm — mindre än en kula; solens är cirka 2,95 km. Att kollapsa någon av dem skulle kräva densiteter som inget känt materietillstånd ger. Verkliga svarta hål bildas vid stjärnors död, där 14,76 km för en kvarleva på 5 M_⊙ (panelens förinställning "litet svart hål") är rätt storleksordning för objekt av Cygnus X-1-typ, medan ett supermassivt svart hål på 4×10⁶ M_⊙ som Sagittarius A* i vårt galaxcentrum har R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (cirka 17 % av Merkurius bana). Schwarzschild-radien är en koordinatförutsägelse från den allmänna relativitetsteorin; horisonten för ett roterande (Kerr-)svart hål skiljer sig och kan vara mindre.

Rörelsemängdens bevarande för en raket som skjuter ut avgaser bakåt med hastigheten v_e och massförhållandet m₀/m_f ger Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Panelens inbyggda exempel (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500 000 kg, m_f = 50 000 kg) ger Δv ≈ 6 907,76 m/s för ett massförhållande på 10 och en bränslefraktion på 90 %. Ekvationen är brutalt logaritmisk: att fördubbla bränslet ger v_e·ln(2) i Δv, aldrig en fördubbling. Låg omloppsbana om jorden kräver cirka 9,4 km/s Δv totalt; geostationär överföringsbana cirka 11,5 km/s; månöverföring cirka 12,5 km/s — därför staplar raketer steg, därför är övre steg små bråkdelar av startmassan, och därför förblir enstegs-till-omloppsbana envist svårt.

Edwin Hubbles observation från 1929 att galaxer rör sig bort med en hastighet proportionell mot avståndet ger d = v/H₀. Med panelens H₀ = 70 km/s/Mpc ligger en galax med v = 1 000 km/s på d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ ljusår. För närliggande galaxer är bortgångshastigheten en liten bråkdel av c, så z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; den linjära Hubble-lagen är då ett specialfall av kosmologisk bortgång i ett expanderande universum. Sambandet bryts vid hög rödförskjutning (z > 0,1), där den fullständiga kosmologiska modellen tar över, vilket är varför infolådan varnar för att formeln gäller för "relativt närliggande" galaxer — samma förbehåll gäller när v_e eller v_o används nära ljusets hastighet (relativistiska korrektioner spelar roll). Hubble-avståndsstegen — parallax till Cepheider till typ Ia-supernovor till Hubble-flödet — är det som kalibrerar H₀ själv, och spänningen mellan lokala och CMB-baserade H₀-värden är fortfarande ett av kosmologins öppna problem.

• Flykthastighet är en uppskjutningshastighet från marken. Det är hastigheten från vila på given radie utan ytterligare framdrivning; en raket som klättrar med konstant låg dragkraft i flera timmar behöver inte nå v_e vid något ögonblick.
• Svarta hål suger in saker som vakuum. Horisontens radie bestäms av den centrala massan, inte av objektet som "dras". Vid r » R_s är gravitationen bara Newton; först mycket nära horisonten blir den oundviklig. Solen, om den vore ett svart hål med samma massa, skulle inte alls ändra jordens bana.
• Mer bränsle ger proportionellt mer Δv. Tsiolkovskij är logaritmisk: att fördubbla bränslet ger v_e·ln(2), inte en fördubbling av delta-v. Detta är det enskilt viktigaste talet inom raketteknik.
• Parallax mäter stjärnors storlek. Parallax mäter avstånd, med samma geometriska triangulering som lantmätare använder — ju större baslinje, desto längre räckvidd. Basen på 2 AU från jordens årliga bana gör parsec till en naturlig enhet.

Relaterade verktyg: Mekanik för den underliggande kinematiken, Modern fysik för relativistiska effekter vid höga hastigheter, och Kalkylator för den algebra som kör formlerna ovan.