Kalkylator för vågor & svängningar

Svängningar och vågor är samma underliggande fysik i olika skepnader. En svängning är allt som rör sig fram och tillbaka kring ett jämviktsläge — en massa på en fjäder, en pendelkula, en spänning över en kondensator, höjden hos en gitarrsträng, trycket inuti en ljudvåg. En våg är en svängning som färdas: samma fram-och-tillbaka-rörelse, men nu sker den vid något olika tidpunkter i varje punkt i rummet, så att en ögonblicksbild visar ett sinusformat mönster som fortplantar sig. Båda styrs av en enda differentialekvation, den enkla harmoniska oscillatorn (SHM) x''(t) = -ω²x(t), vars allmänna lösning är sinusoiden x(t) = A cos(ωt + φ). Därifrån följer period T = 2π/ω, frekvens f = ω/(2π), toppfart v_max = Aω och toppacceleration a_max = Aω². Sex paneler på denna sida täcker de kanoniska fallen: SHM i sig, pendeln som klocka, vågekvationen v = fλ för vandrande vågor, dopplerförskjutning när källan eller observatören rör sig, LC-resonans som elektrisk analog till en massa på en fjäder, och svävningsfrekvens när två närliggande toner interfererar.

SHM är all rörelse där återställningskraften (eller vridmomentet, spänningen eller tryckskillnaden) är proportionell mot förskjutningen från jämviktsläget. Massan på en fjäder är läroboksexemplet: F = -kx ger x'' = -(k/m)x, så ω = √(k/m). Läget vid varje tid är x(t) = A cos(ωt + φ), hastigheten v(t) = -Aω sin(ωt + φ), accelerationen a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Med exemplet (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s) är T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Anger man även en tid t redovisar kalkylatorn de ögonblickliga x(t), v(t), a(t) — tre sinusoider 90° ur fas. SHM förekommer i atomgitter (där den modellerar fononer), i växelströmskretsar (där spänning och ström svänger sinusformat med ω = 2πf) och i alla små vibrationer kring jämvikt.

En pendel med längden L som svänger under gravitationen g vid små vinklar (θ < ~15°) uppfyller SHM-ekvationen med ω = √(g/L). Perioden är den berömda T = 2π√(L/g), som Galileo först noterade är oberoende av kulans massa och av hur långt den svängs. Med L = 1 m och g = 9,81 m/s² (jorden) är T ≈ 2,006 s, den kanoniska "sekundpendeln" som gav metern dess ursprungliga definition (halv period = 1 s). På månen, med g = 1,62 m/s², tar samma 1 m pendel T ≈ 4,94 s; på Mars (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Över cirka 15° amplitud börjar småvinkelapproximationen glida och en korrektionsterm tillkommer, vilket är varför en verklig farfarsklocka använder en lång långsam pendel (låg amplitud) snarare än en kort snabb. Kulans massa förkortas bort i √(g/L): tunga och lätta kulor på samma snöre har identiska perioder.

Varje vandrande våg, vare sig det är ljud, ljus, vatten eller seismisk, följer samma grundläggande samband: v = fλ — vågens hastighet är lika med frekvens gånger våglängd. Tre lägen här löser för en valfri okänd givet de andra två. Exemplet (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) ger v = 343,2 m/s — exakt ljudhastigheten i luft vid 20 °C. Tre referenshastigheter förankrar storleksordningarna: ljud i luft ~343 m/s, ljud i vatten ~1480 m/s, ljus i vakuum c = 3×10⁸ m/s. För att överföra vågen från ett medium till ett annat används Snells lag (behandlad på optiksidan) för brytning, men inom ett enda homogent medium bestäms v av mediets egenskaper (densitet och styvhet för ljud, permittivitet och permeabilitet för ljus).

Dopplereffekten är förändringen i observerad frekvens när källan och observatören rör sig i förhållande till varandra. Den klassiska formeln är f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), där det övre tecknet i täljaren gäller när observatören rör sig mot källan (hör en högre ton) och det nedre tecknet i nämnaren när källan rör sig mot observatören (hör fortfarande en högre ton). Exemplet (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, källan stillastående, observatören rör sig mot källan med 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, en förskjutning på +87,46 Hz eller +8,75 %. Samma 30 m/s med källan som rör sig mot en stillastående lyssnare ger samma svar (formeln är symmetrisk). Vid höga hastigheter blir den relativistiska korrektionen betydande; för en radarpistol som mäter en bil i 30 m/s skiljer sig γ-faktorn från 1 med endast cirka 5×10⁻¹⁷, vilket är varför den klassiska formeln räcker för ljud men ljus kräver den relativistiska versionen.

En LC-krets (induktor L parallellt med kondensator C) är den elektriska motsvarigheten till massan på en fjäder: laddning spelar rollen av förskjutning, ström rollen av hastighet, induktans L rollen av massa och 1/C rollen av fjäderstyvhet. Laddningen svänger med ω = 1/√(LC), ekvivalent f = 1/(2π√(LC)). Exemplet (L = 100 mH, C = 10 μF) ger LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, så f ≈ 159,15 Hz med vinkelfrekvensen ω ≈ 1000 rad/s och perioden T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Verkliga LC-kretsar har också resistans, vilket får svängningen att avta — den avklingningshastigheten är vad en AM-radios avstämning minimerar för att välja en station rent. Att tillföra en driven källa med exakt frekvensen f tvingar kretsen in i resonans, med spännings- och strömamplituder mycket större än utanför resonans.

När två toner med något olika frekvenser spelas samtidigt är lufttrycket summan av två sinusoider — vilket enligt trigonometrin är lika med en cosinus vid medelfrekvensen f_p = (f₁ + f₂)/2 modulerad av en långsam envelopp vid f_svävning = |f₁ − f₂|. Örat hör medeltonhöjden växa och avta i svävningstakten. Exemplet (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) ger f_svävning = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, svävningsperiod = 0,2 s — en tydligt hörbar pulsering 5 gånger per sekund. Under cirka 10 Hz hörs svävningarna som distinkta pulser; över cirka 30 Hz smälter de samman till en ruggighet eller tremolo. Pianostämmare utnyttjar detta: de slår en referenston och strängen som justeras, lyssnar efter svävningar och finjusterar tills svävningarna försvinner. När strängarna är perfekt stämda är f_svävning = 0 och kalkylatorn redovisar "Identiska frekvenser — inga svävningar".

• Period och frekvens är inte samma sak. T (sekunder per cykel) och f (cykler per sekund) är reciprokerna. T = 1/f. En svängning på 0,5 Hz tar 2 sekunder för att slutföra en cykel.
• En pendels period beror bara svagt på amplituden. Den exakta perioden för en ändlig amplitud θ₀ är T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). För 15° är detta en korrigering på 0,7 %, för 30° cirka 1,7 % — vanligtvis ignorerat i inledande uppgifter.
• Dopplerförskjutningen är densamma oavsett om källan eller observatören rör sig. Oavsett om källan rör sig mot en stillastående observatör eller observatören rör sig mot en stillastående källa med samma hastighet, är tonhöjdsförskjutningen identisk (icke-relativistiskt).
• Resonans är inte samma sak som maximal amplitud. Resonans är villkoret ω_drivning = ω_naturlig. Med dämpning ligger toppamplituden under det odämpade värdet; utan dämpning växer amplituden obegränsat (begränsad endast av olinjäritet).

Relaterade verktyg: Modern fysik för de Broglie-vågor och vågpartikeldualiteten, Elektricitet & kretsar för växelströmsanalys där LC-resonansen hör hemma, och Optik & ljus för elektromagnetiska vågor.