Máy tính cơ học chất lưu

Bất kỳ vật nào chìm trong chất lỏng đều chịu một lực hướng lên bằng trọng lượng chất lỏng nó chiếm chỗ: F_b = ρ·V·g, trong đó ρ là mật độ chất lỏng, V là thể tích bị chiếm chỗ và g là gia tốc trọng trường. Mẫu mặc định (ρ = 1000 kg/m³ nước ngọt, V = 0,01 m³, g = 9,81 m/s²) cho F_b ≈ 98,1 N — trọng lượng của 10 kg nước. Đó chính xác là lý do một khối gỗ 10 kg (mật độ 700 kg/m³) nằm lơ lửng một nửa chìm: nửa thể tích chiếm chỗ bằng nửa trọng lượng. Vật nổi khi mật độ trung bình nhỏ hơn chất lỏng; chìm khi lớn hơn; lơ lửng đúng khi bằng nhau. Với khí, quan hệ này vẫn đúng với ρ khoảng 1,2 kg/m³ ở mực nước biển, đó là lý do một quả bóng heli chỉ nâng khoảng 1 gram mỗi lít — độ tương phản mật độ rất nhỏ.

Trong chất lỏng tĩnh, áp suất tăng tuyến tính theo độ sâu: P = P₀ + ρg·h, trong đó P₀ là áp suất ở mặt thoáng (khí quyển, 101.325 Pa ở mực nước biển). Mẫu mặc định (20 m nước ngọt) cho áp suất đo ρg·h = 196.200 Pa và áp suất tổng 297.525 Pa (khoảng 2,94 atm, 2,98 bar). Áp suất chỉ phụ thuộc vào độ sâu và mật độ chất lỏng, không phụ thuộc hình dạng bình chứa — "nghịch lý thủy tĩnh" — vì mỗi phần tử chất lỏng ở độ sâu h đều có cùng cột trọng lượng phía trên. Nguyên lý Pascal: thay đổi áp suất tác dụng lên chất lỏng trong bình kín được truyền nguyên vẹn đến mọi phần, đó là lý do thang máy thủy lực khuếch đại lực: một lực nhỏ trên piston nhỏ tạo ra cùng áp suất đẩy một piston lớn với lực lớn tương ứng.

Với dòng dừng, không nén được và không nhớt, năng lượng trên mỗi đơn vị thể tích được bảo toàn dọc theo mọi dòng: P + ½ρv² + ρgh = hằng số. Mẫu mặc định bắt đầu ở áp suất khí quyển, v₁ = 2 m/s, h₁ = 10 m, và kết thúc ở v₂ = 4 m/s, h₂ = 5 m — bảng trả về P₂ ≈ 144.375 Pa với hằng số khoảng 201.425 Pa. Sự giảm độ cao cộng thêm áp suất thế năng; tốc độ tăng lên lấy đi áp suất tĩnh. Đây là nguyên lý làm việc của venturi (chỗ thắt trong ống làm dòng nhanh hơn và áp suất giảm), bộ chế hòa khí (họng trong kênh không khí làm giảm áp suất và hút nhiên liệu vào), cánh máy bay (mặt trên làm không khí tăng tốc, giảm áp suất và nâng cánh) và ống pitot (chênh lệch áp suất đo vận tốc). Bernoulli không đúng ở bất cứ đâu dòng không dừng, không nén được hoặc không nhớt — đáng chú ý là ở số Reynolds cao, nơi rối khiến áp suất nhiễu và công thức lấy trung bình theo thời gian. Lực nâng của cánh chủ yếu là định luật III Newton — làm lệch dòng khí xuống dưới — với chênh lệch áp suất Bernoulli là phần sổ sách, không phải nguyên nhân.

Lưu lượng thể tích là Q = A·v, với A là diện tích tiết diện và v là vận tốc trung bình. Mẫu mặc định (A = 0,05 m², v = 3 m/s) cho Q = 0,15 m³/s = 150 L/s, tức 9 m³ mỗi phút. Với dòng không nén được qua ống thay đổi tiết diện, bảo toàn khối lượng buộc A₁·v₁ = A₂·v₂: giảm một nửa tiết diện làm vận tốc tăng gấp đôi. Đó là lý do vòi nước vườn bịt đầu bằng ngón cái phun được xa hơn, và vì sao thu hẹp dòng sông ở thác tạo ra dòng nước xiết. Quy tắc liên tục là cục bộ ở mọi thời điểm; vận tốc không "nhớ" các đoạn trước. Với dòng nén được (đường ống khí, động cơ phản lực) bất biến đúng là lưu lượng khối lượng ρA·v, không đổi khi không có chất lưu được thêm hoặc lấy đi.

Với một quả cầu bán kính r chuyển động ở tốc độ thấp trong chất lỏng có độ nhớt μ, lực cản là F_d = 6πμr·v. Mẫu mặc định (μ = 0,001 Pa·s nước, r = 1 cm, v = 0,5 m/s) cho F_d ≈ 9,42×10⁻⁵ N (khoảng 94 μN). Quan hệ này tuyến tính theo v vì ở số Reynolds thấp vệt xoáy đối xứng và độ nhớt chi phối; công mà quả cầu thực hiện để thắng lực cản chuyển thành nhiệt nhớt của chất lỏng. Lực cản Stokes chỉ đúng khi Re < 1 — với quả cầu 1 cm trong nước, điều này nghĩa là vận tốc dưới khoảng 10⁻⁴ m/s. Ở vận tốc cao hơn, hệ số cản gần như không đổi và lực tỷ lệ với v² thay vì v. Lực cản Stokes là thứ kiểm soát việc lắng bụi trong không khí, sự bơi của vi khuẩn và sự rơi của trầm tích mịn trong nước.

Tỷ số không thứ nguyên Re = ρvL/μ so sánh lực quán tính với lực nhớt. Mẫu mặc định (nước, v = 1 m/s, L = 0,1 m) cho Re ≈ 100.000, hoàn toàn trong chế độ rối. Theo thực nghiệm: Re < ~2.000 nghĩa là dòng tầng (êm, dự đoán được, các dòng song song); Re > ~4.000 nghĩa là rối (hỗn loạn, trộn, xoáy); dải hẹp ở giữa là chuyển tiếp. Dòng máu trong động mạch chủ (Re ~ 4.000) nằm ở ranh giới; trong mao mạch (Re ~ 0,001) rõ ràng là tầng và áp dụng lực cản Stokes. Không khí quanh cánh máy bay cố ý rối để trì hoãn sự tách dòng. Số Reynolds là lý do đường ống có "vận tốc tới hạn" mà trên đó chi phí bơm tăng vọt, và là lý do khói từ ngọn nến bay lên thành cột tầng êm vài centimet trước khi vỡ thành các cuộn hỗn loạn.

• Lực Archimedes đến từ đáy đẩy lên. Nó đến từ tích phân của áp suất trên toàn bộ bề mặt ướt. Áp suất ở đáy cao hơn, nhưng các thành phần từ hai bên cũng khác không, và kết quả thuần chính xác bằng trọng lượng chất lỏng bị chiếm chỗ — đó là lý do hình dạng bình chứa không thay đổi đáp án.
• Cánh máy bay sinh lực nâng vì mặt trên dài hơn và không khí "phải đuổi kịp". Lực nâng đến từ chênh lệch áp suất do lưu thông và hình dạng cánh tạo ra; giả thiết thời gian bay bằng nhau là một suy diễn dân gian tình cờ cho ra đáp án số đúng vì lý do sai. Với cánh ở tốc độ thấp, cơ chế chi phối là phân bố áp suất, không phải bất kỳ "nhanh hơn phía trên" nào.
• Định luật Stokes đúng ở mọi tốc độ. Chỉ khi Re < 1. Một quả cầu thép 1 cm rơi trong nước đạt Re = 1 ở vài phần mười milimét mỗi giây; trên mức đó vệt xoáy trở nên bất đối xứng và lực cản tăng theo hành vi v². Stokes đánh giá thấp lực cản cho bất cứ thứ gì giống hòn bi.
• Áp suất luôn đẩy ra ngoài khỏi chất lỏng. Trong chất lỏng tĩnh, áp suất đẳng hướng: nó đẩy đều theo mọi hướng. "Lực đẩy từ dưới lên" lên một bề mặt chìm chỉ là thành phần hướng xuống của cùng áp suất đó, vốn đẩy ngang và lên trên trên mỗi centimet vuông.

Công cụ liên quan: Cơ học cho lực, công và năng lượng, Nhiệt động lực học cho dòng nén được và động lực học khí, và Chuyển đổi đơn vị để đổi giữa Pa, bar, atm và psi.