Máy tính sóng & dao động

Dao động và sóng là cùng một vật lý nền tảng khoác những lớp áo khác nhau. Một dao động là bất cứ thứ gì chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng — vật nặng trên lò xo, quả lắc đơn, điện áp trên tụ điện, độ cao của dây đàn guitar, áp suất trong sóng âm. Một sóng là dao động có lan truyền: cùng chuyển động qua lại, nhưng giờ xảy ra ở thời điểm hơi khác nhau tại mỗi điểm trong không gian, nên một ảnh chụp cho thấy mẫu hình sin đang lan đi. Cả hai đều được chi phối bởi một phương trình vi phân duy nhất, dao động điều hòa đơn giản (SHM) x''(t) = -ω²x(t), có nghiệm tổng quát là hình sin x(t) = A cos(ωt + φ). Từ đó, chu kỳ T = 2π/ω, tần số f = ω/(2π), vận tốc cực đại v_max = Aω, gia tốc cực đại a_max = Aω². Sáu bảng trên trang này bao quát các trường hợp chuẩn: chính SHM, con lắc làm đồng hồ, phương trình sóng v = fλ cho sóng truyền, dịch Doppler khi nguồn hoặc người quan sát chuyển động, cộng hưởng LC như tương đương điện của vật nặng trên lò xo, và tần số phách khi hai âm gần nhau giao thoa.

SHM là bất kỳ chuyển động nào mà lực hồi phục (hoặc mômen, điện áp, chênh lệch áp suất) tỷ lệ với độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Vật nặng trên lò xo là ví dụ sách giáo khoa: F = -kx cho x'' = -(k/m)x, nên ω = √(k/m). Vị trí tại thời điểm bất kỳ là x(t) = A cos(ωt + φ), vận tốc v(t) = -Aω sin(ωt + φ), gia tốc a(t) = -Aω² cos(ωt + φ). Với mẫu (A = 0,1 m, ω = 6,28 rad/s), T = 2π/ω ≈ 1,0005 s, f = ω/(2π) ≈ 0,9995 Hz, v_max = Aω = 0,628 m/s, a_max = Aω² ≈ 3,9438 m/s². Nếu bạn cũng nhập thời gian t, máy tính báo x(t), v(t), a(t) tức thời — ba hình sin lệch pha 90°. SHM xuất hiện trong mạng tinh thể nguyên tử (nơi nó mô hình hóa phonon), trong mạch xoay chiều (nơi điện áp và dòng dao động hình sin với ω = 2πf), và trong mọi dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng.

Con lắc chiều dài L dao động dưới trọng trường g ở góc nhỏ (θ < ~15°) thỏa phương trình SHM với ω = √(g/L). Chu kỳ là T = 2π√(L/g) nổi tiếng, mà Galileo đầu tiên nhận thấy là không phụ thuộc khối lượng quả lắc và việc bạn đong đưa xa đến đâu. Với L = 1 m và g = 9,81 m/s² (Trái Đất), T ≈ 2,006 s, "con lắc giây" chuẩn đã từng định nghĩa mét ban đầu (nửa chu kỳ = 1 s). Trên Mặt Trăng, với g = 1,62 m/s², cùng con lắc 1 m mất T ≈ 4,94 s; trên Sao Hỏa (g = 3,72 m/s²), T ≈ 3,26 s. Trên biên độ khoảng 15° xấp xỉ góc nhỏ bắt đầu lệch và một số hiệu chỉnh xuất hiện, đó là lý do đồng hồ quả lắc thật dùng con lắc dài chậm (biên độ thấp) thay vì con lắc ngắn nhanh. Khối lượng quả lắc triệt tiêu trong √(g/L): quả lắc nặng và nhẹ trên cùng sợi dây giữ chu kỳ như nhau.

Mọi sóng truyền, dù là âm thanh, ánh sáng, nước hay địa chấn, đều tuân theo cùng một quan hệ cơ bản: v = fλ — tốc độ sóng bằng tần số nhân bước sóng. Ba chế độ ở đây giải bất kỳ ẩn nào khi biết hai cái còn lại. Mẫu (f = 440 Hz, λ = 0,78 m) cho v = 343,2 m/s — đúng tốc độ âm thanh trong không khí ở 20°C. Ba tốc độ tham chiếu neo độ lớn: âm thanh trong không khí ~343 m/s, âm thanh trong nước ~1480 m/s, ánh sáng trong chân không c = 3×10⁸ m/s. Để đổi sóng từ môi trường này sang môi trường khác bạn dùng định luật Snell (đề cập trên trang quang học) cho khúc xạ, nhưng trong một môi trường đồng nhất đơn lẻ v do tính chất của môi trường quyết định (mật độ và độ cứng với âm thanh, độ điện thẩm và độ từ thẩm với ánh sáng).

Hiệu ứng Doppler là thay đổi tần số quan sát được khi nguồn và người quan sát chuyển động tương đối với nhau. Công thức cổ điển là f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s), trong đó dấu trên ở tử số lấy khi người quan sát chuyển động về phía nguồn (nghe cao độ cao hơn) và dấu dưới ở mẫu số khi nguồn chuyển động về phía người quan sát (vẫn nghe cao độ cao hơn). Mẫu (f = 1000 Hz, v = 343 m/s, nguồn đứng yên, người quan sát chuyển động về phía nguồn với 30 m/s): f′ = 1000·(343 + 30)/343 ≈ 1087,46 Hz, độ dịch +87,46 Hz hay +8,75%. Cùng nguồn 30 m/s chuyển động về phía người nghe đứng yên cho đáp án giống hệt (công thức đối xứng). Ở tốc độ cao hiệu chỉnh tương đối tính trở nên đáng kể; với súng radar đo một ô tô 30 m/s, hệ số γ khác 1 chỉ khoảng ~5×10⁻¹⁷, đó là lý do công thức cổ điển đủ cho âm thanh nhưng ánh sáng cần phiên bản tương đối tính.

Mạch LC (cuộn cảm L song song với tụ C) là tương đương điện của vật nặng trên lò xo: điện tích đóng vai trò độ dịch chuyển, dòng điện đóng vai trò vận tốc, điện cảm L đóng vai trò khối lượng, và 1/C đóng vai trò độ cứng lò xo. Điện tích dao động với ω = 1/√(LC), tương đương f = 1/(2π√(LC)). Mẫu (L = 100 mH, C = 10 μF) cho LC = 1×10⁻⁴, √(LC) = 1×10⁻⁷, nên f ≈ 159,15 Hz với tần số góc ω ≈ 1000 rad/s và chu kỳ T ≈ 6,28×10⁻⁷ s. Mạch LC thực cũng có điện trở, gây tắt dần dao động — tốc độ tắt dần đó là thứ bộ dò đài AM tối thiểu hóa để chọn đài sạch. Thêm một nguồn kích thích đúng tần số f ép mạch vào cộng hưởng, với biên độ điện áp và dòng lớn hơn nhiều so với ngoài cộng hưởng.

Khi hai âm có tần số hơi khác nhau phát cùng lúc, áp suất không khí là tổng của hai hình sin — theo lượng giác bằng một côsin ở tần số trung bình f_p = (f₁ + f₂)/2 được điều biến bởi một đường bao chậm ở f_phách = |f₁ − f₂|. Tai nghe cao độ trung bình phình lên và xẹp xuống theo tốc độ phách. Mẫu (f₁ = 440 Hz, f₂ = 445 Hz) cho f_phách = 5 Hz, f_p = 442,5 Hz, chu kỳ phách = 0,2 s — một nhịp đập nghe rõ 5 lần mỗi giây. Dưới khoảng 10 Hz phách nghe như các xung rời rạc; trên khoảng 30 Hz chúng hòa vào nhau thành độ nhám hoặc rung. Thợ chỉnh đàn piano khai thác điều này: họ gõ một cao độ chuẩn và dây đang chỉnh, lắng nghe phách, và chỉnh cho đến khi phách biến mất. Khi các dây hoàn toàn đúng cao độ f_phách = 0 và máy tính báo "Tần số đồng nhất — không có phách".

• Chu kỳ và tần số không giống nhau. T (giây mỗi chu kỳ) và f (chu kỳ mỗi giây) là nghịch đảo của nhau. T = 1/f. Dao động 0,5 Hz mất 2 giây để hoàn thành một chu kỳ.
• Chu kỳ con lắc chỉ phụ thuộc yếu vào biên độ. Chu kỳ chính xác với biên độ hữu hạn θ₀ là T = T₀·(1 + θ₀²/16 + πθ₀⁶/…). Với 15° đây là hiệu chỉnh 0,7%, với 30° khoảng 1,7% — thường bỏ qua trong bài toán nhập môn.
• Dịch chuyển Doppler như nhau khi nguồn hoặc người quan sát chuyển động. Dù nguồn chuyển động về phía người quan sát đứng yên, hay người quan sát chuyển động về phía nguồn đứng yên với cùng tốc độ, độ dịch cao độ đều giống nhau (không tương đối tính).
• Cộng hưởng không giống biên độ cực đại. Cộng hưởng là điều kiện ω_{kích thích} = ω_riêng. Có tắt dần thì biên độ cực đại thấp hơn giá trị không tắt dần; không tắt dần thì biên độ tăng không giới hạn (chỉ bị giới hạn bởi phi tuyến).

Công cụ liên quan: Vật lý hiện đại cho sóng de Broglie và lưỡng tính sóng-hạt, Điện & mạch điện cho phân tích xoay chiều nơi cộng hưởng LC nằm, và Quang học & ánh sáng cho sóng điện từ.