Ba tích làm mọi thứ bạn cần: tích vô hướng (một đại lượng vô hướng đo độ thẳng hàng, A·B = |A||B|cosθ), tích có hướng (một vectơ vuông góc với cả hai đầu vào, độ lớn |A||B|sinθ), và toán tử chiếu (thành phần của A theo một hướng đã chọn). Chúng là sổ sách của mọi công thức vật lý có nhiều hơn một vectơ.
Độ lớn và ví dụ chuẩn 2D
Tam giác vuông 3-4-5 là ví dụ chuẩn cho vectơ 2D. Lấy A = (3, 4). Độ lớn của nó là |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Hướng của nó từ trục +x là arctan(4/3) ≈ 53,13°. Mọi vectơ 2D có thể viết thành độ lớn nhân vectơ đơn vị chỉ hướng đó: A = 5·(0,6, 0,8). Bảng phân tích nhận độ lớn và các góc θ và φ, rồi trả về thành phần x, y, z theo quy ước cầu (x = r cosθ cosφ, y = r cosθ sinφ, z = r sinθ) hoặc phẳng (bỏ qua φ, x = r cosθ, y = r sinθ). Với r = 10, θ = 36,87° ở chế độ 2D, bảng trả về (8, 6, 0) — tam giác vuông 6-8-10, được co giãn từ 3-4-5 gốc. Nhận ra các tam giác nguyên này là lối tắt để phát hiện thành phần nào vuông góc mà không cần lượng giác.
Tích vô hướng — đại lượng vô hướng đo độ thẳng hàng
Với hai vectơ A và B, tích vô hướng A·B = AxBx + AyBy (+ AzBz) là một vô hướng bằng |A||B|cosθ — nghĩa là tích các độ lớn nhân côsin của góc giữa chúng. Mẫu 2D mặc định (A = (3, 4), B = (5, 2)) cho A·B = 15 + 8 = 23, độ lớn |A| = 5 và |B| = √29 ≈ 5,385, và cosθ = 23/(5 × 5,385) = 23/26,93 ≈ 0,854, nên θ ≈ 31,33°. Ba hệ quả về dấu mang toàn bộ diễn giải: cosθ > 0 nghĩa là góc nhọn và các vectơ chỉ về cùng phía nói chung; cosθ < 0 nghĩa là góc tù và các vectơ đối nhau; cosθ = 0 nghĩa là vuông góc. Tích vô hướng là công do lực F thực hiện dọc theo dịch chuyển d (W = F·d), và côsin là lý do đẩy theo một góc kém hiệu quả hơn đẩy dọc theo đường chuyển động.
Tích có hướng — vectơ vuông góc với cả hai đầu vào
Tích có hướng là phép toán chỉ có trong 3D, kết quả là một vectơ vuông góc với cả hai đầu vào, có độ lớn |A||B|sinθ và hướng xác định bởi quy tắc bàn tay phải (ngón trỏ chỉ theo A, ngón giữa theo B, ngón cái cho A×B). Theo thành phần, A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx). Mẫu 3D mặc định (A = (2, 3, 4), B = (5, 1, 2)) cho A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13). Tích có hướng là phản đối xứng: B×A = −A×B, nên đổi chỗ hai đầu vào sẽ đổi dấu. Ba chỗ xuất hiện trong vật lý: mômen xoắn τ = r×F (lực quay), mômen động lượng L = r×p (mômen động lượng quỹ đạo), và lực từ F = qv×B lên điện tích chuyển động. Độ lớn |A×B| bằng diện tích hình bình hành hai vectơ tạo thành, đó là lý do kết quả tích có hướng luôn mô tả diện tích hoặc chuyển động quay. Mômen xoắn là tích có hướng đang hoạt động: τ = r×F có độ lớn |r||F|sinθ, nên đẩy xuyên qua trục cho mômen bằng không và cờ lê dài hơn cho mômen lớn hơn.
Góc giữa các vectơ
Khi đã có tích vô hướng và độ lớn, góc là một arc-cosin: cosθ = A·B/(|A||B|), với θ trong [0, π]. Tích vô hướng nhỏ so với độ lớn nghĩa là các vectơ gần vuông góc; tích vô hướng bằng |A||B| nghĩa là các vectơ cùng hướng (θ = 0); tích vô hướng bằng −|A||B| nghĩa là ngược hướng (θ = π). Công thức giống nhau trong 2D và 3D — chỉ khác số chiều của tổng các thành phần. Về hình học, tích vô hướng có thể xem như chiếu A lên B (hoặc B lên A), rồi nhân với độ lớn của vectơ còn lại, nên côsin đúng nghĩa là tỷ số chiếu.
Vectơ đơn vị và phép chiếu
Một vectơ đơn vị là vectơ có độ lớn 1, cùng hướng với vectơ gốc: u = A / |A|. Vectơ đơn vị là cách mô tả "hướng thuần"; các vectơ cơ sở i, j, k của tọa độ Descartes là ví dụ chuẩn, và mọi hướng trong 3D đều có thể viết thành tổ hợp tuyến tính của chúng. Phép chiếu của A lên B (hay thành phần của A theo B) là projBA = (A·B / |B|²) · B — phần của A nằm dọc theo B. Phiên bản vô hướng (A·B/|B|) là độ dài có dấu của hình chiếu đó. Đây là điều khiến tích vô hướng là công thức công: thành phần dịch chuyển dọc theo lực, nhân với độ lớn lực, là công thực hiện.
Các hiểu lầm
- Tích vô hướng là phép nhân vectơ. Đó là tích vô hướng — cho ra một số, không phải vectơ. Tương tự, tích có hướng là tích vectơ. Gọi chúng là "phép nhân" che giấu việc chúng có đầu ra hoàn toàn khác nhau.
- Tích có hướng là một đại lượng vô hướng. Trong 2D, thành phần vuông góc đôi khi được gọi là vô hướng (định thức axby − aybx), nhưng trong 3D tích có hướng thực sự là một vectơ. Cả độ lớn và hướng đều có ý nghĩa vật lý.
- Tích có hướng có tính giao hoán. Nó phản giao hoán: A×B = −B×A. Thứ tự quan trọng — mômen xoắn r×F ngược chiều với F×r.
- Vectơ có vị trí cố định. Vectơ là tự do — bạn có thể trượt chúng quanh trang mà không làm chúng thay đổi. Cố định là độ lớn và hướng của chúng; chỉ những vectơ cụ thể trong vật lý (vectơ vị trí, điện trường tại một điểm) mới gắn với một vị trí.
Công cụ liên quan: Cơ học cho mômen xoắn, công và mômen động lượng trong ngữ cảnh, Động lực học quay cho cách tích có hướng tạo nên mômen động lượng, và Mạch điện cho lực từ F = qv×B.
