Mọi phép đo là một con số có kèm một phần trung thực: chúng ta có thể tự tin đến đâu? Phần đó có hai phần — sai số ngẫu nhiên, mà việc lặp lại phép đo làm trung bình giảm xuống, và sai số hệ thống, một độ lệch tồn tại dai dẳng dù bạn đo bao nhiêu lần. Báo cáo trung thực của bất kỳ đại lượng nào do đó là x ± u(x), với u là bất định được định nghĩa rõ; ký hiệu ± là cách viết tắt của "khoảng xấp xỉ này với xác suất chừng này". Bốn máy tính trong bảng này bao quát các công cụ làm việc: đếm chữ số có nghĩa (lối tắt sổ sách), lan truyền bất định qua tổng, hiệu, tích, thương và lũy thừa (phép tính của các sai lầm), độ lệch chuẩn (dữ liệu trải rộng đến đâu), và bất định kết hợp kiểu GUM của nhiều thành phần độc lập.
Hai loại sai số, hai hành vi trái ngược: sai số ngẫu nhiên giảm theo căn bậc hai của N (σ/√N), nên lấy trung bình luôn thắng; sai số hệ thống hoàn toàn không giảm, đó là lý do hiệu chuẩn quan trọng hơn lặp lại. Một phép đo có σ rất nhỏ vẫn có thể sai do độ lệch hệ thống.
Chữ số có nghĩa — lối tắt sổ sách
Một chữ số có nghĩa là một chữ số được biết chắc chắn; các số không đệm để đưa một số về quy ước kích thước thì không. Năm quy tắc: (1) mọi chữ số khác không đều có nghĩa, (2) số không nằm giữa các chữ số khác không đều có nghĩa, (3) số không đứng đầu không có nghĩa (chúng chỉ đặt dấu thập phân), (4) số không cuối sau dấu thập phân có nghĩa, (5) số không cuối không có dấu thập phân là mơ hồ (nên dùng ký hiệu khoa học). Vì vậy giá trị mặc định 0,0070800 có 5 chữ số có nghĩa (7, 0, 8, 0, 0) và được đọc là (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Báo cáo 0,0070800 ngụ ý độ chính xác giống như báo cáo 7,0800×10−3; báo cáo 0,00708 ngụ ý độ chính xác kém đi một nghìn lần. Lối tắt này dùng được cho báo cáo sách giáo khoa; với phép đo thực, bất định u mới là con số trung thực, và chữ số có nghĩa là cách diễn đạt tiện lợi mà không phải viết ± mỗi lần.
Lan truyền sai số — phép tính của các sai lầm
Với z = f(x, y), quy tắc kết hợp các bất định độc lập là σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Với bốn phép toán làm việc, điều này rút gọn thành: cộng/trừ cộng các sai số tuyệt đối theo tổng bình phương σz = √(σx² + σy²); nhân/chia cộng các sai số tương đối theo tổng bình phương σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); lũy thừa xn nhân sai số tương đối với |n|: σz/z = |n|σx/x. Mẫu mặc định (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, phép cộng) cho z = 15 và σz ≈ 0,36, tức 15,00 ± 0,36 (khoảng 2,4% tương đối). Chuyển sang phép nhân với cùng đầu vào cho z = 50 ± 2,5 (5% tương đối) — cùng giá trị ±, quy tắc lan truyền rất khác, và bất định tương đối của tích bằng tổng bình phương các bất định tương đối. Bất định tuyệt đối là đơn vị đúng cho tổng/hiệu; bất định tương đối là đơn vị đúng cho tích/thương.
Độ lệch chuẩn — độ phân tán của dữ liệu
Độ lệch chuẩn σ là độ lệch trung bình bình phương căn của trung bình. Có hai phiên bản tùy dữ liệu đại diện cho điều gì: σ của tổng thể = √(Σ(xi − x̄)² / n) mô tả độ trải của mọi thành viên của một tập đã biết; s của mẫu = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) ước lượng độ trải của tổng thể lớn hơn mà mẫu được lấy ra. Mẫu mặc định (10 giá trị từ 12,2 đến 12,8 với trung bình 12,5) cho σ tổng thể ≈ 0,1732, s mẫu ≈ 0,1826, và SEM = s/√N ≈ 0,0577. Bản thân bất định của trung bình là σ/√N (hoặc s/√N với phiên bản mẫu), đó là lý do lấy trung bình 25 phép đo cùng một đại lượng làm bất định giảm đi 5 lần so với một phép đo. Độ lệch chuẩn cũng dùng để tính khoảng tin cậy: với phân bố chuẩn, ±1σ chứa 68,3%, ±2σ 95,5%, ±3σ 99,7%.
Bất định mở rộng — kết hợp mọi nguồn
Khi một phép đo có nhiều nguồn sai số độc lập (độ phân giải dụng cụ, hiệu chuẩn, khả năng lặp lại, trôi nhiệt độ, hiệu ứng người thao tác), bất định kết hợp kiểu GUM là uc = √(Σui²). Các nguồn được phân loại Loại A (thống kê, từ dữ liệu) và Loại B (mọi thứ còn lại, với bất định ước lượng bằng phán đoán hoặc thông số nhà sản xuất); cả hai đưa vào uc theo cùng cách. Hệ số phủ k sau đó co giãn khoảng để đạt độ tin cậy đã chọn: k = 1 cho 68,3%, k = 2 cho 95,5%, k = 2,58 cho 99,0%, k = 3 cho 99,7%. Mẫu mặc định (các nguồn 0,15; 0,08; 0,05; 0,03 mm, k = 2) cho uc ≈ 0,1797 mm và U = k·uc ≈ 0,3595 mm ở 95,5%. Giá trị báo cáo trở thành (phép đo ± 0,36) mm với độ tin cậy đó. GUM (ISO/IEC Guide 98-3) là tiêu chuẩn quốc tế cho quy trình. Thành phần Loại A đến từ thống kê các số đọc lặp lại, Loại B từ thông số dụng cụ và phán đoán — cả hai kết hợp qua cùng một tổng bình phương.
Những hiểu lầm phổ biến
- Nhiều chữ số có nghĩa hơn nghĩa là phép đo chính xác hơn. Chỉ khi các chữ số đó thực sự đến từ phép đo. Chiều dài "12,34567 m" viết tay không chính xác đến 1 phần 10 triệu — chữ số có nghĩa là cách truyền đạt độ chính xác, không phải cách tạo ra nó. Ghi ± trung thực hơn là độn thêm các chữ số bịa đặt.
- Sai số hệ thống có thể giảm bằng cách lấy trung bình. Ngược lại: sai số ngẫu nhiên giảm theo 1/√N khi lấy trung bình, nhưng độ lệch hệ thống (cân bị hiệu chuẩn sai, số không lệch tâm) vẫn còn nguyên dù bạn đo bao nhiêu lần. Hãy nhận diện và xử lý độ lệch. Đây là cái bẫy "dữ liệu trông lặp lại tốt quá!" trong một thí nghiệm hỏng.
- Độ lệch chuẩn cho bạn biết về sai số của một phép đo đơn lẻ. Nó mô tả độ trải của phân bố, không phải sai số của bất kỳ lần thử đơn lẻ nào. Sai số chuẩn của trung bình (s/√N) là đại lượng liên quan khi báo cáo mức độ bạn biết x̄ từ một mẫu N phần tử.
- Bất định luôn là ± ở chữ số cuối. Quy ước chuẩn là "làm tròn bất định đến một (đôi khi hai) chữ số có nghĩa, rồi làm tròn giá trị cho khớp". Một phép đo 12,345678 ± 0,234 nên báo cáo là 12,35 ± 0,23, không phải 12,345678 ± 0,234.
Công cụ liên quan: Thống kê cho các phân bố xác suất nền tảng, Cơ học cho các thiết lập thí nghiệm tạo ra các con số, và Máy tính cho đại số lan truyền.
