Máy tính thiên văn vật lý

Thiên văn vật lý là phần của vật lý dùng hấp dẫn và chuyển động làm ngôn ngữ vận hành cho mọi thứ từ một mặt trăng đến một thiên hà. Sáu máy tính trong bảng này trả lời sáu câu hỏi lặp lại mà bạn có thể đặt ra cho bất kỳ thiên thể hay quỹ đạo nào: phải ném một vật nhanh đến đâu để thoát khỏi hệ? Phải nhanh đến đâu để quay quanh nó? Một quỹ đạo mất bao lâu? Cùng khối lượng đó phải co lại nhỏ đến đâu để thành hố đen? Một tên lửa đạt được bao nhiêu delta-v trên mỗi tỷ lệ nhiên liệu? Và một thiên hà cách bao xa khi ánh sáng của nó bị dịch đỏ? Mọi thứ khác — khoảng cách đo bằng thị sai trên đường đáy quỹ đạo Trái Đất là một đơn vị thiên văn (AU = 1,496×10¹¹ m), độ sáng biểu kiến như thang logarit của độ sáng, dịch đỏ z ≈ v/c như dạng vận tốc thấp của định luật Hubble — đều dựa trên cùng khung Newton và tương đối tính.

Mọi thiên thể có khối lượng M và bán kính R tạo ra một giếng thế năng sâu GM/R trên mỗi đơn vị khối lượng. Để leo ra khỏi bề mặt cần động năng ít nhất bằng độ sâu đó, từ đó cho ra vận tốc thoát. Thử với Trái Đất: M = 5,972×10²⁴ kg, R = 6,371×10⁶ m — bảng trả về v_e ≈ 11.186 m/s (11,19 km/s, khoảng Mach 33). Sao Hỏa khoảng 5,03 km/s, Mặt Trăng 2,38 km/s, Sao Mộc 60 km/s (nơi hydro là nhiên liệu tên lửa kém nhưng toán học vẫn như vậy), và Mặt Trời 618 km/s. Lưu ý: công thức giả định không có lực cản khí quyển và không có lực đẩy thêm; con số thực cho bất kỳ tên lửa nào còn bao gồm tổn thất khí động, tổn thất do trọng lực khi leo và tổn thất khi điều hướng. Đó cũng là tốc độ từ trạng thái nghỉ ở bề mặt; một vật đã ở quỹ đạo chỉ cần Δv nhỏ hơn để thoát khỏi độ cao của nó, không bao giờ cần giá trị bề mặt đầy đủ. Cùng tỷ lệ đó cũng đặt ra trọng lượng bề mặt: trên Sao Hỏa (g = 3,71 m/s²) một phi hành gia 70 kg nặng 260 N — khối lượng không đổi, trọng lượng theo trọng lực địa phương.

Quỹ đạo tròn ổn định cân bằng gia tốc hướng tâm với trọng lực: v_o = √(GM/r). Cài đặt mặc định của Trái Đất trong bảng ở r = 7×10⁶ m (khoảng 629 km độ cao — vùng của ISS) cho v_o ≈ 7.546 m/s và chu kỳ 5.829 s (~1,62 giờ). ISS thực sự ở khoảng 408 km và quay quanh trong ~92,7 phút; độ cao trong bảng là con số minh họa, không phải lịch bay. Quan hệ này cũng cho ra thoát — nhân v_o với √2 để có v_e ở cùng độ cao. Tốc độ quỹ đạo không phụ thuộc khối lượng đang quay quanh; một chiếc lông vũ và một chiếc tàu chiến cùng quỹ đạo chuyển động với cùng tốc độ (trong chân không), đó là lý do cơ học quỹ đạo coi vệ tinh như các chất điểm.

T² = (4π²/GM) · a³ liên hệ chu kỳ quỹ đạo với bán trục lớn. Cài đặt mặc định Mặt Trời-Trái Đất trong bảng (M = 1,989×10³⁰ kg, a = 1,496×10¹¹ m = 1 AU theo định nghĩa) cho T ≈ 365,21 ngày, đúng bằng độ dài năm của chúng ta. Giải theo chiều ngược lại — cho chu kỳ tính bằng giây, tính a — là cách các nhà thiên văn đo bán trục lớn của bất kỳ vệ tinh nào mà họ đo được chu kỳ. Đường đáy 1 AU đó cũng là định nghĩa của parsec: một ngôi sao cho thấy độ dịch thị sai 1 giây cung so với nền khi Trái Đất quét qua 2 AU thì cách đúng 1 parsec = 3,26 năm ánh sáng — và 1 parsec = 206.265 AU. Kilômét và năm ánh sáng trở nên bất tiện ở quy mô liên sao; parsec và AU là các đơn vị làm việc.

Nếu bạn nén khối lượng M xuống dưới bán kính Schwarzschild R_s = 2GM/c², không tín hiệu nào từ bên trong có thể thoát ra: đó là chân trời của một hố đen không quay. Các con số nhỏ đến bất ngờ với khối lượng thông thường: R_s của Trái Đất khoảng 8,87 mm — nhỏ hơn một viên bi; của Mặt Trời khoảng 2,95 km. Để nén bất kỳ cái nào trong hai thứ này sẽ cần mật độ mà không trạng thái vật chất đã biết nào cung cấp được. Hố đen thực sự hình thành khi sao chết, nơi 14,76 km cho một tàn dư 5 M_⊙ (cài đặt "hố đen nhỏ" trong bảng) là độ lớn đúng cho các vật kiểu Cygnus X-1, trong khi một hố đen siêu khối lượng 4×10⁶ M_⊙ như Sagittarius A* ở tâm thiên hà của chúng ta có R_s ≈ 1,18×10¹⁰ m (khoảng 17% quỹ đạo Sao Thủy). Bán kính Schwarzschild là một dự đoán tọa độ của thuyết tương đối rộng; chân trời thực của một hố đen quay (Kerr) khác đi và có thể nhỏ hơn.

Bảo toàn động lượng cho một tên lửa phụt khí ra sau với tốc độ v_e và tỷ lệ khối lượng m₀/m_f cho Δv = v_e · ln(m₀/m_f). Mẫu có sẵn trong bảng (v_e = 3000 m/s, m₀ = 500.000 kg, m_f = 50.000 kg) cho Δv ≈ 6.907,76 m/s với tỷ lệ khối lượng 10 và tỷ lệ nhiên liệu 90%. Phương trình có dạng logarit rất khắc nghiệt: nhân đôi nhiên liệu cộng thêm v_e·ln(2) vào Δv, không bao giờ nhân đôi nó. Quỹ đạo Trái Đất thấp cần khoảng 9,4 km/s Δv tổng; quỹ đạo chuyển tiếp địa tĩnh khoảng 11,5 km/s; chuyển tiếp về Mặt Trăng khoảng 12,5 km/s — đó là lý do tên lửa được chia tầng, tầng trên chỉ là phần nhỏ của khối lượng phóng, và tên lửa một tầng lên quỹ đạo vẫn cực kỳ khó.

Quan sát năm 1929 của Edwin Hubble rằng các thiên hà lùi ra xa với vận tốc tỷ lệ với khoảng cách cho d = v/H₀. Với H₀ = 70 km/s/Mpc trong bảng, một thiên hà có v = 1.000 km/s nằm ở d ≈ 14,286 Mpc ≈ 4,66×10⁷ năm ánh sáng. Với các thiên hà gần, vận tốc lùi là một phần nhỏ của c, nên z ≈ v/c ≈ 3,34×10^-3; định luật Hubble tuyến tính khi đó là trường hợp đặc biệt của sự lùi xa vũ trụ học trong một vũ trụ đang giãn nở. Quan hệ này phá vỡ ở dịch đỏ cao (z > 0,1) nơi mô hình vũ trụ học đầy đủ tiếp quản, đó là lý do hộp thông tin cảnh báo công thức dành cho các thiên hà "tương đối gần" — cùng lưu ý áp dụng khi dùng v_e hoặc v_o gần tốc độ ánh sáng (hiệu chỉnh tương đối tính có ý nghĩa). Thang khoảng cách Hubble — từ thị sai đến sao biến quang Cepheid, đến siêu tân tinh loại Ia, đến dòng chảy Hubble — là thứ hiệu chuẩn chính H₀, và sự căng thẳng hiện tại của H₀ giữa các giá trị cục bộ và giá trị suy ra từ CMB vẫn là một trong những bài toán mở của vũ trụ học.

• Vận tốc thoát là tốc độ phóng từ mặt đất. Đó là tốc độ xuất phát từ trạng thái nghỉ ở bán kính đã cho mà không cần thêm lực đẩy; một tên lửa leo lên với lực đẩy thấp không đổi trong nhiều giờ không cần đạt v_e tại bất kỳ thời điểm nào.
• Hố đen hút mọi thứ như chân không. Bán kính chân trời do khối lượng trung tâm quyết định, không phải do vật "bị kéo". Tại r » R_s, trọng lực chỉ là Newton; chỉ rất gần chân trời nó mới trở nên không thể thoát. Mặt Trời, nếu là một hố đen cùng khối lượng, cũng sẽ không làm thay đổi quỹ đạo Trái Đất chút nào.
• Nhiều nhiên liệu hơn cho nhiều Δv hơn theo tỷ lệ. Tsiolkovsky có dạng logarit: nhân đôi nhiên liệu chỉ cộng thêm v_e·ln(2), không nhân đôi delta-v. Đây là con số quan trọng nhất trong kỹ thuật tên lửa.
• Thị sai đo kích thước sao. Thị sai đo khoảng cách, bằng cùng phép tam giác hình học mà người khảo sát dùng — đường đáy càng lớn, tầm xa càng xa. Đường đáy 2 AU từ quỹ đạo hằng năm của Trái Đất khiến parsec trở thành đơn vị tự nhiên.

Công cụ liên quan: Cơ học cho động học nền tảng, Vật lý hiện đại cho hiệu ứng tương đối tính ở tốc độ cao, và Máy tính cho bộ máy đại số chạy các công thức trên.