Máy tính quay & mômen xoắn

Chuyển động quay là động học và động lực học của những thứ quay — bánh xe, bánh răng, hành tinh, phân tử, bão. Sổ sách gần như song song từng dòng với phiên bản tuyến tính: dịch chuyển thẳng trở thành dịch chuyển góc θ (radian), vận tốc thẳng thành vận tốc góc ω (rad/s), gia tốc thẳng thành gia tốc góc α (rad/s²), khối lượng thành mômen quán tính I (kg·m²), và lực thành mômen xoắn τ (N·m). Định luật II Newton có dạng quay là τ = I·α, và mômen động lượng L = I·ω được bảo toàn khi không có mômen ngoài, đúng như động lượng tuyến tính được bảo toàn khi không có lực ngoài. Sáu máy tính trong bảng này bao quát các công thức làm việc: lực hướng tâm cho chuyển động tròn, chuyển đổi đơn vị vận tốc góc, mômen xoắn, mômen quán tính cho các hình dạng thông dụng, mômen động lượng cùng động năng quay, và lực giả ly tâm trong hệ quy chiếu quay.

Bất kỳ vật nào chuyển động tròn đều đang đổi hướng, tức là có gia tốc, nên cần một lực — hướng về tâm. Độ lớn là F = mv²/r = mω²r. Mẫu mặc định (m = 1 kg, v = 10 m/s, r = 2 m) cho F = 50 N và gia tốc hướng tâm 50 m/s² (≈ 5 g), với vận tốc góc 5 rad/s (≈ 47,75 vòng/phút). Lực này là thật — với quả bóng buộc dây, đó là lực căng dây; với xe ô tô vào cua, đó là ma sát giữa lốp và mặt đường; với vệ tinh quay quanh, đó là trọng lực. Bỏ lực đi (dây đứt, lốp mất bám) thì vật bay ra theo phương tiếp tuyến, không phải theo bán kính ra ngoài: cái đẩy ra ngoài bạn cảm thấy trong xe đang rẽ là lực giả ly tâm trong hệ quy chiếu quay, không phải lực hướng tâm trong hệ quán tính.

Cùng một vật quay có thể mô tả bằng vòng/phút (RPM), radian/giây (rad/s, đơn vị SI), vòng/giây (Hz), hoặc độ/giây. Mẫu mặc định (1200 RPM) trở thành ω ≈ 125,66 rad/s, 7.200 độ/s, hoặc 20 Hz, với chu kỳ 0,05 s mỗi vòng. Các hệ thức: ω = 2πf = 2π n/60 với n là RPM; hệ số 2π đổi vòng thành radian, và 60 đổi phút thành giây. Các chuyển đổi đơn vị này ít quan trọng với bài tập sách giáo khoa hơn là với động cơ và mô-tơ, nơi RPM là số đọc trên đồng hồ và mômen xoắn (N·m) là đầu ra làm việc.

Mômen xoắn là tương tự quay của lực: τ = r·F·sinθ, trong đó r là chiều dài cánh tay đòn, F là lực tác dụng, và θ là góc giữa chúng. Mẫu mặc định (F = 50 N, r = 0,3 m, θ = 90°) cho τ = 15 N·m. Thừa số sinθ có nghĩa lực hiệu quả nhất ở 90° (vuông góc với cánh tay đòn); đẩy thẳng dọc theo cánh tay đòn (θ = 0 hoặc 180°) cho mômen bằng không, bất kể bạn đẩy mạnh đến đâu. Đó là lý do cờ lê vặn bu-lông dễ nhất khi bạn đẩy vuông góc với tay cầm, và tay cầm dài hơn cho mômen lớn hơn với cùng lực tác dụng — cũng là lý do cờ lê, nắm cửa và vô lăng lớn hơn trục chúng quay.

Mômen quán tính là tương tự quay của khối lượng, và phụ thuộc cách khối lượng phân bố quanh trục. Với quả cầu đặc khối lượng m và bán kính R, I = (2/5)mR²; với đĩa đặc hoặc trụ quanh trục giữa, I = (1/2)mR²; với vòng mỏng, I = mR²; với thanh đồng nhất quanh tâm, I = (1/12)mL². Mẫu mặc định (quả cầu đặc, m = 2 kg, R = 1 m) cho I = 0,8 kg·m². Hệ quả thực tế là một vòng khó quay hơn một đĩa cùng khối lượng và bán kính (toàn bộ khối lượng nằm ở vành), và một quả cầu rỗng khó quay hơn quả cầu đặc. Khối lượng càng xa trục thì I càng lớn — đó là lý do vận động viên trượt băng nghệ thuật khi co tay lại thì quay nhanh hơn: I giảm, ω tăng, và L = Iω giữ không đổi.

Mômen động lượng là L = Iω, đơn vị kg·m²/s; động năng quay là KE = ½Iω². Mẫu mặc định (I = 5 kg·m², ω = 10 rad/s) cho L = 50 kg·m²/s và KE = 250 J. Định luật bảo toàn giống như động lượng tuyến tính: khi không có mômen ngoài, L giữ không đổi. Con quay tiếp tục quay chừng nào ma sát (một mômen ngoài) còn nhỏ; một hành tinh quay tự do bảo toàn mômen động lượng bằng cách quét các diện tích bằng nhau trong thời gian bằng nhau (định luật II Kepler). Phát biểu tổng hợp là lý do con quay hồi chuyển chống nghiêng: thay đổi hướng L cần một mômen, và con quay quay nhanh có L lớn đến mức các mômen nhỏ hầu như không làm nó lệch.

Trong hệ quy chiếu quay, một vật đứng yên chịu một lực ngoài giả hướng ra ngoài bằng lực hướng tâm mà nó cần để giữ trên đường tròn. Độ lớn là F = mω²r, giống hệt công thức hướng tâm. Mẫu mặc định (m = 0,1 kg, ω = 100 rad/s, r = 0,15 m) cho F = 150 N hướng ra ngoài, tốc độ tiếp tuyến 15 m/s, và gia tốc trọng trường khoảng 152,91 g. Lực giả không tồn tại trong hệ quán tính (không quay), nơi lực hướng vào từ dây hoặc tường là lực hướng tâm và hoàn toàn không có cái đẩy ra ngoài. Ly tâm là thứ giữ nước trong xô khi quay vòng thẳng đứng, thứ làm quần áo khô trong máy giặt, thứ tách các thành phần máu trong máy ly tâm, và thứ giữ hành khách sát tường ngoài của thiết kế trạm vũ trụ quay. Hai lực này theo định nghĩa có độ lớn bằng nhau và ngược chiều.

• Lực ly tâm là một lực thật đẩy bạn ra ngoài. Đó là lực giả chỉ xuất hiện trong hệ quy chiếu quay (không quán tính). Trong hệ quán tính, lực duy nhất là lực hướng tâm hướng vào trong — thứ bạn cảm thấy là "hướng ra ngoài" chính là quán tính của bạn chống lại lực kéo vào trong.
• Mômen động lượng giữ con quay quay mãi mãi. Mômen động lượng chỉ được bảo toàn khi không có mômen ngoài. Con quay chậm lại vì ma sát ở đầu nhọn là một mômen ngoài; một ổ trục không ma sát (chân không sâu, siêu dẫn) có thể giữ bánh xe quay hàng ngày, nhưng không bao giờ mãi mãi.
• Vật nặng hơn có mômen quán tính lớn hơn. Vật nặng hơn cùng hình dạng thì đúng là vậy; nhưng một vòng rỗng và một đĩa đặc cùng khối lượng có thể có mômen rất khác nhau, vì điều quan trọng là phân bố, không chỉ tổng khối lượng.
• Vật chuyển động tròn không có hợp lực. Hợp lực bằng không nếu nó chuyển động đều theo đường thẳng. Quỹ đạo tròn là gia tốc không đổi hướng về tâm, đòi hỏi một lực hướng vào trong không đổi. Bỏ lực đi thì vật rời khỏi đường tròn.

Công cụ liên quan: Cơ học cho động lực học tuyến tính bên dưới, Chất lưu cho xoáy và dòng quay, và Vật lý hiện đại cho mômen động lượng lượng tử xuất hiện trong nguyên tử.