两类误差、两种相反的行为：随机误差随 √N 收缩（σ/√N），所以平均总是赢家；系统误差完全不收缩——这就是校准比重复更重要的原因。一个测量可以 σ 极小却因偏差而全盘皆错。
有效数字——簿记捷径
有效数字是一位确信可知的数字；为凑数量级而填充的零不算。五条规则：(1) 所有非零数字有效；(2) 非零之间的零有效；(3) 前导零无效（它们只是定位小数点）；(4) 小数点后的尾随零有效；(5) 无小数点的尾随零有歧义（用科学计数法）。默认值 0.0070800 因此有 5 位有效数字（7、0、8、0、0），读作 (7.0800 ± 0.00005)×10−3。报告 0.0070800 意味着与 7.0800×10−3 相同的精度；报告 0.00708 则意味着低一千倍的精度。这条捷径适用于教科书报告；对真实测量，不确定度 u 才是诚实的数字，有效数字只是免写 ± 的便捷表达。
误差传递——错误的微积分
对 z = f(x, y)，独立不确定度的合成规则是 σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy²。对四种工作运算可简化为：加法/减法按绝对误差平方和开方 σz = √(σx² + σy²)；乘法/除法按相对误差平方和开方 σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²)；乘方 xn 把相对误差放大 |n| 倍：σz/z = |n|σx/x。默认示例（x = 10 ± 0.3，y = 5 ± 0.2，加法）给出 z = 15、σz ≈ 0.36，即 15.00 ± 0.36（相对约 2.4%）。同样输入切换到乘法得 z = 50 ± 2.5（相对 5%）——同样的 ± 值，完全不同的传递规则，且乘积的相对不确定度等于各相对不确定度的平方和。和差用绝对不确定度记账，积商用相对不确定度记账。
标准差——数据的离散
标准差 σ 是偏离均值的均方根。按数据含义分两种：总体 σ = √(Σ(xi − x̄)² / n) 描述已知集合全体成员的离散；样本 s = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) 估计样本所来自的更大总体的离散。默认示例（10 个 12.2–12.8 之间、均值 12.5 的值）给出总体 σ ≈ 0.1732、样本 s ≈ 0.1826、SEM = s/√N ≈ 0.0577。均值本身的不确定度是 σ/√N（样本版为 s/√N）——这正是对同一量测 25 次能把不确定度比单次降 5 倍的原因。标准差还喂给置信区间：正态分布下 ±1σ 覆盖 68.3%、±2σ 覆盖 95.5%、±3σ 覆盖 99.7%。
扩展不确定度——合成一切来源
当测量有多个独立误差来源（仪器分辨率、校准、重复性、温度漂移、操作者影响）时，GUM 式合成不确定度为 uc = √(Σui²)。来源分为 A 类（统计的、来自数据）与 B 类（其余，凭判断或厂商规格估计）；两者以同样方式进入 uc。包含因子 k 把区间缩放到选定置信水平：k = 1 对应 68.3%，k = 2 对应 95.5%，k = 2.58 对应 99.0%，k = 3 对应 99.7%。默认示例（0.15、0.08、0.05、0.03 mm 来源，k = 2）给出 uc ≈ 0.1797 mm、95.5% 置信下 U = k·uc ≈ 0.3595 mm。报告值即（测量值 ± 0.36）mm。GUM（ISO/IEC Guide 98-3）是该流程的国际标准。A 类分量来自重复读数的统计，B 类来自仪器规格与判断——两者经同一条平方和开方合成。
常见误区
- 有效数字越多测量越准。只有当那些数字真的来自测量时才成立。手写的“12.34567 m”并不是千万分之一的精度——有效数字是表达精度的手段，不是凭空发明精度的手段。报 ± 比填充编造的数字诚实。
- 系统误差可以靠平均减小。恰恰相反：随机误差按 1/√N 平均掉，而系统偏差（未校准的秤、不归零的零点）无论测多少次都原地不动。找出偏差并校准之。这就是“数据看起来可重复性真好！”在坏实验中的陷阱。
- 标准差告诉你单次测量的误差。它刻画的是分布的离散，不是任何单次试验的误差。报告对 N 个样本均值的了解程度时，相关量是均值的标准误（s/√N）。
- 不确定度永远是末位的 ±。标准约定是“不确定度修约到一（偶尔两位）有效数字，再把数值修约到与之匹配”。12.345678 ± 0.234 应报告为 12.35 ± 0.23，而非 12.345678 ± 0.234。
相关工具：统计学（背后的概率分布）、力学（产生这些数字的实验装置）以及计算器（传递用的代数）。
