三种乘积做你需要的一切：点积（衡量对齐程度的标量，A·B = |A||B|cosθ）、叉积（垂直于两个输入的矢量，模为 |A||B|sinθ）以及投影算子（A 沿指定方向的分量）。凡涉及不止一个矢量的物理公式，簿记都是它们。
模与 2D 典范例
3-4-5 直角三角形是 2D 矢量的典范例。取 A = (3, 4)，其模为 |A| = √(3² + 4²) = √25 = 5；相对 +x 轴的方向为 arctan(4/3) ≈ 53.13°。任何 2D 矢量都可写成模乘以该方向的单位矢量：A = 5·(0.6, 0.8)。分解面板接受模与角 θ、φ，按球坐标约定（x = r cosθ cosφ，y = r cosθ sinφ，z = r sinθ）或平面约定（忽略 φ，x = r cosθ，y = r sinθ）返回 x、y、z 分量。r = 10、θ = 36.87° 的 2D 模式返回 (8, 6, 0)——由 3-4-5 缩放而来的 6-8-10 直角三角形。认得这些整数三角形，就能不借助三角函数一眼看出哪些分量互相垂直。
点积——对齐程度的标量度量
对两个矢量 A 与 B，点积 A·B = AxBx + AyBy（+ AzBz）是一个标量，等于 |A||B|cosθ——即模的乘积乘以夹角的余弦。默认 2D 示例（A = (3, 4)，B = (5, 2)）给出 A·B = 15 + 8 = 23、|A| = 5、|B| = √29 ≈ 5.385，cosθ = 23/(5 × 5.385) = 23/26.93 ≈ 0.854，故 θ ≈ 31.33°。三个符号结论承载全部解读：cosθ > 0 意味着锐角、两矢量大致同向；cosθ < 0 意味着钝角、两矢量相逆；cosθ = 0 意味着垂直。点积就是力 F 沿位移 d 做的功（W = F·d）；余弦正是斜着推不如顺着运动方向推有效的数学表达。
叉积——垂直于两个输入的矢量
叉积是仅限 3D 的运算，结果是垂直于两个输入的矢量，模为 |A||B|sinθ，方向由右手定则给定（食指沿 A、中指沿 B，拇指即 A×B）。分量式为 A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)。默认 3D 示例（A = (2, 3, 4)，B = (5, 1, 2)）给出 A×B = (3·2 − 4·1, 4·5 − 2·2, 2·1 − 3·5) = (2, 16, −13)。叉积是反对称的：B×A = −A×B，交换输入即翻转符号。三个物理出场处：力矩 τ = r×F（转动之力）、角动量 L = r×p（轨道角动量）、运动电荷的磁力 F = qv×B。|A×B| 等于两矢量张成的平行四边形面积——这正是叉积结果总在描述面积或旋转的原因。力矩就是叉积的应用：τ = r×F 模为 |r||F|sinθ，过支点推力为零，扳手越长力矩越大。
矢量间的夹角
有了点积和模，夹角就是一次反余弦：cosθ = A·B/(|A||B|)，θ ∈ [0, π]。点积相对模很小说明接近垂直；点积等于 |A||B| 说明同向（θ = 0）；等于 −|A||B| 说明反向（θ = π）。公式在 2D 与 3D 中相同——只是分量求和的维数不同。几何上，点积可看作把 A 投影到 B（或 B 投影到 A）再乘以另一者的模，余弦字面上就是投影比。
单位矢量与投影
单位矢量是模为 1、指向与原矢量相同的矢量：u = A / |A|。单位矢量是你描述“纯方向”的方式；笛卡尔坐标的 i、j、k 基矢量是典范，3D 中任何方向都可写成它们的线性组合。A 在 B 上的投影（即 A 沿 B 的分量）为 projBA = (A·B / |B|²) · B——A 中沿着 B 的那一部分。标量版本（A·B/|B|）是该投影的带符号长度。这正是点积成为做功公式的原因：位移沿力方向的分量乘以力的大小，就是所做的功。
常见误区
- 点积是矢量的乘法。它是标量积——产出一个数，不是矢量。同样叉积是矢量积。叫它们“乘法”掩盖了输出完全不同这一事实。
- 叉积是标量。2D 中垂直分量有时被称作标量（行列式 axby − aybx），但 3D 中叉积是真矢量。它的模和方向都有物理意义。
- 叉积满足交换律。它是反交换的：A×B = −B×A。顺序很重要——力矩 r×F 与 F×r 方向相反。
- 矢量有固定位置。矢量是自由的——在页面上平移不改变它。固定不变的只是其模与方向；只有物理中的特定矢量（位置矢量、某点的电场）才绑定位置。
相关工具：力学（语境中的力矩、功与角动量）、转动与力矩（叉积如何构建角动量）以及电路（磁力 F = qv×B）。
