物理模拟

交互式物理模拟，Canvas 实时动画。包括抛体运动、单摆与双摆、波干涉、电场线以及力矢量合成。另见：力学 | 矢量计算器 | 波动。
抛体运动：实时飞行的轨迹。x(t)=v0·cosθ·t，y(t)=h0+v0·sinθ·t-½gt²。射程 R=v0²sin(2θ)/g（h0=0）。最大高度 H=h0+v0²sin²θ/(2g)。
这些物理模拟是什么？

五个实时 Canvas 动画展示物理方程运动起来的样子：重力下小球的轨迹、单摆的摆动与双摆的混沌之舞、两列圆形波的干涉图样、点电荷周围的场线，以及三个力的多边形合成。数学与站内其他页面的公式完全相同；Canvas 让你看到解在时间与空间中的样子。每个面板接受少量输入，产生数值读数（抛体、力的合成、电场）或视觉结果（单摆、波干涉）。它们合起来就是你浏览器里的小实验室——改一个参数，立刻看到结果变化。

模拟就是让方程显形：同样的代数、同样的常数、同样的边界条件——渲染成动画，让你调参数看结果。用它建立直觉：改发射角看射程在 45° 达到峰值，改电荷符号看场线反转，改波长看干涉图样收缩或展开。
抛体运动——典范抛物线

以初速 v0、角度 θ、高度 h0 发射的小球遵循参数方程 x(t) = v0 cosθ · t 与 y(t) = h0 + v0 sinθ · t − ½g t²。Canvas 随小球飞行描绘轨迹并报告最终射程、飞行时间与最大高度。默认示例（v0 = 25 m/s，θ = 45°，h0 = 0，地球 g = 9.81 m/s²）给出飞行时间 ≈ 3.604 s、射程 ≈ 63.70 m、最大高度 ≈ 15.929 m。切换到月球预设（g = 1.62），同样的发射达 ≈ 385.8 m、历时 ≈ 21.82 s——同一条抛物线，长六倍远六倍，这正是月球运动如此荒诞、也是宇航员 Alan Shepard 用临时六号铁杆挥杆的原理。Canvas 以红点跟踪球的位置，并把射程与最大高度直接标注在图上。

单摆——简谐与混沌

摆长 L、从角度 θ 释放的单摆服从 θ″(t) = −(g/L) sinθ，此处用半隐式欧拉法积分。小振幅（sinθ ≈ θ）时运动是简谐的，周期 T = 2π√(L/g)；默认 L = 1.5 m 在地球上给出 T ≈ 2.458 s。振幅较大时周期略增，因为 sinθ 不再是好的线性近似——60° 摆比同长度的 5° 摆慢约 7%。双摆则是另一回事：两根刚性杆、关节处有质量，受耦合非线性方程支配，同样方式积分却表现出混沌。初始角的微小差异在几个周期内导致截然不同的轨迹——这是确定性混沌的标志，也是双摆成为混沌力学系统教科书案例的原因。在下拉框从“单摆”切到“双摆”，第二根杆出现并取初始角 θ2；按开始即可看到摆型不可预测地发散。单摆模拟每帧还有阻尼（因子 0.9995），正如真实摆因空气阻力与轴摩擦损失能量。

波干涉——双源叠加

两个点源发出同波长 λ 的圆形波；平面上每一点的合扰动是两者的和。两列波峰同相到达处振幅加倍（相长干涉）；一列的波峰遇上另一列的波谷则相互抵消（相消干涉）。相长干涉条件是 r1 − r2 = mλ（m 为整数）；相消为 r1 − r2 = (m + ½)λ。Canvas 绘制强度图（亮 = 高振幅，暗 = 抵消），并可叠加 r1 − r2 = mλ 的节线（虚线选项）。默认间距（120 px = 3λ）沿中垂线呈现清晰的明暗交替带——与托马斯·杨双缝实验中的明暗条纹、油膜反射的彩色条带同属一回事。

电场线——密度编码强度

点电荷 Q 周围的电场是大小为 E = kQ/r² 的径向矢量；两个电荷时任意点的场是矢量和 E合 = E1 + E2。Canvas 从源区以 4 px 步长的欧拉法沿局部场方向追踪 16 条场线。场线从正电荷（Q > 0）发出、终止于负电荷（Q < 0）；默认示例（Q1 = +5，Q2 = −3，|Q1·Q2| = 15）的图样显示场线从左侧红色 + 电荷出发、向外弯曲，多数终止于右侧蓝色 − 电荷，少数逃逸到无穷远（因为电量不等）。场线密度正比于场强：线密处场强，线疏处场弱。同时反转两电荷符号会反转线的方向而几何不变。

力的合成——多边形法

多个力作用于同一物体时，合力是它们的矢量和，不是标量和。多边形（首尾相接）法把每个力矢量依次尾接头地从原点摆开；合力 R 就是从原点指向最后一个箭头的矢量。分量式：Rx = ΣFi cosθi、Ry = ΣFi sinθi、|R| = √(Rx² + Ry²)、θR = arctan(Ry/Rx)。Canvas 把每个力画成从原点出发的彩色箭头（F1 红、F2 蓝、F3 绿），再用紫色虚线从原点连到最后的箭头表示合力，并辅以浅灰多边形线描出首尾相接的路径。默认示例（F1 = 30 N 0°，F2 = 25 N 60°，F3 = 15 N 150°）给出 Rx ≈ 29.51 N、Ry ≈ 29.15 N、|R| ≈ 41.48 N、θR ≈ 44.65°——合力大于任何单个分力，因为方向相互加强。

常见误区
  • Canvas 展示的是真实物理，不是示意。每一帧都由底层方程算出（摆用欧拉积分、波用叠加、力用矢量和）。改输入就是改数学；动画是直接的数值可视化。
  • 单摆周期取决于振幅。小振幅（小于约 15°）时周期几乎与振幅无关，等于 T = 2π√(L/g)。振幅更大时周期明显增长——90° 摆比小角公式预测的慢约 18%。落地钟的“秒摆”刻意设计成小摆幅，正是为了让周期纹丝不动。
  • 电场线是真实存在的。它们只是场的可视化，不是物理的线。真实的电场是空间每一点的矢量；场线只是把场切向连续相连的点连起来。你无法“抓住”一条场线。
  • 多边形法与平行四边形法给出不同答案。两者给出同一合力。平行四边形法适用于两个力；多边形法自然推广到任意多个力。都是矢量加法的等价应用。

相关工具：力学（数值运动学公式）、矢量计算器（分量分解与点积叉积）、波动与振荡（完整行波方程）、电学与电路（电流电压对应物）以及光学（波干涉的光学版——杨氏双缝）。