Toda medición es un número con un compañero honesto: ¿con qué confianza podemos afirmarlo? Ese compañero tiene dos partes: un error aleatorio, que la repetición de la medida promedia a la baja, y un error sistemático, un sesgo que persiste por muchas veces que mida. El informe honesto de cualquier magnitud es, por tanto, x ± u(x), siendo u una incertidumbre bien definida; el símbolo ± es una abreviatura de «aproximadamente este intervalo con esta probabilidad». Las cuatro calculadoras de este panel cubren las herramientas de trabajo: contar cifras significativas (el atajo de contabilidad), propagar incertidumbres a través de sumas, diferencias, productos, cocientes y potencias (el cálculo de los errores), la desviación típica (cuánto se dispersan los datos) y la incertidumbre combinada al estilo GUM de múltiples componentes independientes.
Dos tipos de error, dos comportamientos opuestos: el error aleatorio disminuye con la raíz cuadrada de N (σ/√N), así que promediar siempre gana; el error sistemático no disminuye en absoluto, por eso la calibración importa más que la repetición. Una medición puede tener una σ diminuta y estar aun así equivocada por un sesgo.
Cifras significativas — el atajo de contabilidad
Una cifra significativa es un dígito conocido con confianza; los ceros que rellenan un número hasta un tamaño convencional no lo son. Cinco reglas: (1) todos los dígitos distintos de cero son significativos, (2) los ceros entre dígitos distintos de cero son significativos, (3) los ceros iniciales no son significativos (solo sitúan la coma), (4) los ceros finales tras la coma decimal son significativos, (5) los ceros finales sin coma decimal son ambiguos (use notación científica). El valor predeterminado 0,0070800 tiene, por tanto, 5 cifras significativas (7, 0, 8, 0, 0) y se lee como (7,0800 ± 0,00005)×10−3. Informar 0,0070800 implica la misma precisión que informar 7,0800×10−3; informar 0,00708 implica una precisión mil veces menor. El atajo funciona para informes de libro de texto; para una medición real, la incertidumbre u es el número honesto, y las cifras significativas son una forma cómoda de expresarla sin escribir el ± cada vez.
Propagación de errores — el cálculo de los errores
Para z = f(x, y), la regla para combinar incertidumbres independientes es σz² ≈ (∂f/∂x)²σx² + (∂f/∂y)²σy². Para las cuatro operaciones de trabajo, esto se reduce a: suma/resta suman los errores absolutos en cuadratura σz = √(σx² + σy²); multiplicación/división suman los errores relativos en cuadratura σz/|z| = √((σx/x)² + (σy/y)²); la potencia xn escala el error relativo por |n|: σz/z = |n|σx/x. El ejemplo predeterminado (x = 10 ± 0,3, y = 5 ± 0,2, suma) da z = 15 y σz ≈ 0,36, es decir 15,00 ± 0,36 (unos 2,4% relativo). Cambiar a multiplicación con los mismos datos da z = 50 ± 2,5 (5% relativo) — los mismos valores ±, una regla de propagación muy distinta, y la incertidumbre relativa del producto es igual a la suma en cuadratura de las incertidumbres relativas. Las incertidumbres absolutas son la moneda adecuada para sumas y diferencias; las incertidumbres fraccionarias son la moneda adecuada para productos y cocientes.
Desviación típica — la dispersión de los datos
La desviación típica σ es la desviación cuadrática media respecto a la media. Existen dos versiones según lo que representen los datos: σ poblacional = √(Σ(xi − x̄)² / n) describe la dispersión de todos los miembros de un conjunto conocido; s muestral = √(Σ(xi − x̄)² / (n − 1)) estima la dispersión de la población mayor de la que se extrajo la muestra. El ejemplo predeterminado (10 valores entre 12,2 y 12,8 con media 12,5) da σ poblacional ≈ 0,1732, s muestral ≈ 0,1826 y error típico de la media = s/√N ≈ 0,0577. La incertidumbre de la propia media es σ/√N (o s/√N para la versión muestral), por eso promediar 25 mediciones de una misma magnitud reduce la incertidumbre en un factor 5 frente a una sola. La desviación típica también alimenta los intervalos de confianza: para una distribución normal, ±1σ contiene el 68,3%, ±2σ el 95,5%, ±3σ el 99,7%.
Incertidumbre extendida — combinar todas las fuentes
Cuando una medición tiene varias fuentes de error independientes (resolución del instrumento, calibración, repetibilidad, deriva por temperatura, efecto del operador), la incertidumbre combinada al estilo GUM es uc = √(Σui²). Las fuentes se clasifican en tipo A (estadísticas, a partir de los datos) y tipo B (todo lo demás, con incertidumbres estimadas por criterio o por la especificación del fabricante); ambas alimentan uc del mismo modo. Un factor de cobertura k escala luego el intervalo al nivel de confianza elegido: k = 1 para el 68,3%, k = 2 para el 95,5%, k = 2,58 para el 99,0%, k = 3 para el 99,7%. El ejemplo predeterminado (fuentes de 0,15, 0,08, 0,05, 0,03 mm, k = 2) da uc ≈ 0,1797 mm y U = k·uc ≈ 0,3595 mm al 95,5%. El valor informado pasa a ser (medición ± 0,36) mm con esa confianza. La GUM (ISO/IEC Guía 98-3) es la norma internacional para el procedimiento. Los componentes de tipo A provienen de la estadística de lecturas repetidas, los de tipo B de las especificaciones del instrumento y del criterio; ambos se combinan con la misma suma en cuadratura.
Ideas erróneas habituales
- Más cifras significativas significa una medición más exacta. Solo si esos dígitos vienen realmente de la medición. Una longitud escrita a mano como «12,34567 m» no tiene una exactitud de 1 parte en 10 millones — las cifras significativas son una forma de comunicar la precisión, no de inventarla. Informar el ± es más honesto que rellenar con dígitos inventados.
- El error sistemático se puede reducir promediando. Es al revés: los errores aleatorios se promedian a la baja como 1/√N, pero un sesgo sistemático (una báscula descalibrada, un cero descentrado) se mantiene aunque tome muchas mediciones. Identifique y corrija el sesgo. Esta es la trampa de «¡los datos parecen tan reproducibles!» en un experimento defectuoso.
- La desviación típica le dice el error de una sola medición. Caracteriza la dispersión de la distribución, no el error de un ensayo concreto. El error típico de la media (s/√N) es la magnitud pertinente cuando informa de lo bien que conoce x̄ a partir de una muestra de N.
- La incertidumbre siempre va en la última cifra. La convención habitual es «redondear la incertidumbre a una (a veces dos) cifras significativas y luego redondear el valor para que coincida». Una medición de 12,345678 ± 0,234 debe informarse como 12,35 ± 0,23, no como 12,345678 ± 0,234.
Herramientas relacionadas: Estadística para las distribuciones de probabilidad subyacentes, Mecánica para los montajes experimentales que producen los números, y la Calculadora para el álgebra de la propagación.
